备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业六十一　圆锥曲线中的定值问题.docx

PAGE

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。

六十一圆锥曲线中的定值问题

(时间:45分钟分值:40分)

1.(10分)(2024·咸阳模拟)已知点F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,纵坐标为2的点N在C上,以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,|DE|=23.

(1)求抛物线C的方程;

【解析】(1)由题知,N点的横坐标为2p

所以|NF|=p2+2p,|OF|=

所以|NF|2=|DF|2=|OF|2+|DE

所以p22+(3)2

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)过(-1,0)作直线l与抛物线C交于A,B,求kNA+kNB的值.

【解析】(2)由(1)知N(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my-1,

代入y2=4x,整理得y2-4my+4=0,

所以Δ=(4m)2-4×40,即m21,

所以y1+y2=4m,y1y2=4,

所以kNA+kNB=y1-2x1-1+y2-2

2.(10分)(2024·泉州模拟)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B.直线l与C相切,且与圆O:x2+y2=4交于M,N两点,M

(1)若|MN|=455,求

【解析】(1)当直线l斜率不存在时,方程为x=±2,显然与圆也相切,此时不符合题意,

设直线l的斜率为k,则直线方程为y=kx+m,与椭圆方程联立,

得x24+y23=1y=kx+m?

因为直线l与C相切,

所以有Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0?m2=4k2+3,

圆O:x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2,圆心(0,0)到直线y=kx+m的距离为|m

因为|MN|=45

所以有455=2×4-(|m|k2

(2)记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.

【解析】(2)椭圆左、右顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,0),

直线l与圆联立得x2+y2=4y=kx+m?(1+k

设M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1x2,

则有x1+x2=-2kmk2+1,x1x2=m2-4k2+1,x1=-km-11+k2

=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2-2x1+2

得k1k2=k2m2-4k2+1+

所以k1k2=4k2

3.(10分)(2024·哈尔滨模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=±34x,焦距为10,

(1)求C的方程;

【解析】(1)依题意ba=342c=10c2=

(2)设点P是直线l:x=2上的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.

【解析】(2)如图:

设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),

直线MN:y-y0=-x0-4y0(

即MN:y=-x0-4y

(记k=-x0-4y0,m=(x0

(9-16k2)x2-32kmx-16(m2+9)=0.

所以x1+x2=32km9-16k2,x

又因为直线A1M:y=y1x1+4(x+4),直线A2N:y=

-13=y1x1+4·x2-4y2

?(16k2+3)x1x2+4(4km+3)(x1+x2)+16(m2+3)=0

?(m2+9)(16k2+3)-8km(4km+3)+(m2+3)(16k2-9)=0?-24km-6m2+16×12k2=0,

即32k2-4km-m2=0?m=-8k或m=4k(舍),

所以x0-4y0·8=(

所以Q点轨迹为以(6,0)为圆心,2为半径的圆,所以R(6,0),|QR|=2.

4.(10分)(2024·佛山模拟)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-1,0),左、右顶点及上顶点分别记为A,B,C

(1)求椭圆Γ的方程;

【解析】(1)依题意C(0,b),B(a,0),F(-1,0),

所以CF=(-1,-b),CB=(a,-b),

由CF·CB=1,

可得b2-a=1,即a2-a-2=0,

解得a=2或a=-1(舍去),故a2=4,b2=3,

所以椭圆Γ的方程为x24+y

(2)设过F的直线PQ交椭圆Γ于P,Q两点,若直线PA,QA与直线l:x+4=0分别交于M,N两点,l与x轴的交点为K,则|MK|·|KN|是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,请说明理由.

【解析】(2)是定值.设直线PQ的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立得x2

消去x整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,

所以y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,

令x=-4,得yM=-2y1

同