备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业十九　利用导数研究恒(能)成立问题.docx

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十九利用导数研究恒(能)成立问题

(时间:45分钟分值:40分)

1.(10分)设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R),若f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.

【解析】f(x)=(2x-

由题意f(x)≥1,则f(x)min≥1,

①当a≤0时,令f(x)0,得x1;

令f(x)0,得0x1,

所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

所以f(x)min=f(1)=-a-1,

所以-a-1≥1,即a≤-2;

②当a0时,存在f(1)=-a-10,不满足题意,

可知a0时,f(x)≥1不恒成立,

综上,a≤-2.

故实数a的取值范围是(-∞,-2].

【加练备选】

已知函数f(x)=ax3+bx2+6x+c,当x=-1时,f(x)取极小值为-5,当x=2时,f(x)取极大值.

(1)求函数f(x);

【解析】(1)因为f(x)=3ax2+2bx+6,由f(-1)=f(2)=0,得3a-2b+6=0,12a+4b+6=0.

解得a=-1,b=32

又f(-1)=-5,所以c=-32

经检验,a=-1,b=32,c=-32时,f(x)=-x3+32x2+6x

所以f(x)=-x3+32x2+6x-3

(2)存在x0∈[1,3],使得f(x0)≤t2-2t成立,求实数t的取值范围.

【解析】(2)存在x0∈[1,3],使得f(x0)≤t2-2t成立,等价于f(x)min≤t2-2t,

因为f(x)=-3x2+3x+6=-3(x-2)(x+1),

当x∈[1,2)时,f(x)0;当x∈(2,3]时,f(x)0,

所以f(x)在[1,2)上单调递增,在(2,3]上单调递减,

又f(1)=5,f(3)=3,

所以f(x)在[1,3]上的最小值为f(3)=3,

所以t2-2t≥3,解得t≤-1或t≥3,

所以实数t的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).

2.(10分)已知函数f(x)=xlnx(x0).

(1)求函数f(x)的极值;

【解析】(1)由f(x)=xlnx,得f(x)=1+lnx,

令f(x)0,得x1e;令f(x)0,得0x1

所以f(x)在(0,1e)上单调递减,在(1

所以f(x)在x=1e

为f(1e)=-1e

(2)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤-x2+mx

【解析】(2)由f(x)≤-x2+mx-

问题转化为m≥(2xlnx

令g(x)=2xlnx+x2+3x=2lnx

g(x)=2x+1-3x2=x

由g(x)0,得x1;由g(x)0,得0x1,

所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=4,则m≥4,

故m的最小值为4.

【加练备选】

已知函数f(x)=ex-ax-1.

(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;

【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,

所以f(x)=ex-1,

当x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0,

所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,

所以当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=0,无极大值,

即f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞),极小值为0,无极大值.

(2)若f(x)≤x2在[0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.

【解析】(2)因为f(x)≤x2在[0,+∞)上有解,

所以ex-x2-ax-1≤0在[0,+∞)上有解,

当x=0时,不等式成立,此时a∈R;

当x0时,不等式等价于a≥exx-(x+1x)在(0,+∞)上有解,令g(x)=exx

则g(x)=ex(x-1

由(1)知当a=1时,f(x)f(0)=0,

即ex-(x+1)0,

所以当0x1时,g(x)0;

当x1时,g(x)0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

所以当x=1时,g(x)min=e-2,

所以a≥e-2,

综上可知,实数a的取值范围是[e-2,+∞).

3.(10分)(2023·宝鸡模拟)已知函数f(x)=ex+aln(-x)+1,f(x)是其导函数,其中a∈R.

(1)若f(x)在(-∞,0)上单调递减,求a的取值范围;

【解析】(1)f(x)=ex+ax

因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,

所以f(x)=ex+ax≤0在(-∞,0)上恒成立,即a≥-x·ex在(-∞,0)上恒成立

令g(x)=-x·ex(x0),

则g(x)=-ex-xex=-(x+1)ex,

当x-1时,g(x)0,

当-1x0时,g(x)0,

所以函数g(x)在(-∞,-1)