人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.2 第3课时 函数的平均变化率.ppt

第3课时函数的平均变化率第三章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.了解直线的斜率和函数的平均变化率的概念.2.理解函数的单调性与函数的平均变化率的关系.3.能用函数的平均变化率证明函数的单调性.

自主预习新知导学

一、直线的斜率1.如图,观察三条直线并回答下列问题:(1)直观感受一下,图中三条直线中哪条直线最“陡峭”?提示:直线l1最“陡峭”.(2)对于直线l1和l2,y2-y1和y4-y3哪个大?提示:y4-y3大.(3)结合(1)和(2)中的结论,这个结论具有一般意义吗?如何描述直线的倾斜程度?提示:(1)和(2)中的结论具有一般意义,用描述直线的倾斜程度.

2.(1)直线的斜率:一般地,给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1≠x2时,称为直线AB的斜率;当x1=x2时,称直线AB的斜率不存在.(2)直线斜率的几何意义:直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度.(3)直线斜率的其他表示法:若记Δx=x2-x1,Δy=y2-y1,则当Δx≠0时,斜率可记为.3.已知平面直角坐标系中的两点A(2,3),B(-1,4),则直线AB的斜率是.?

二、函数的变化率与单调性1.下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图,观察该图并回答问题:某地气温日变化曲线图

(1)从图上观察,你认为这是哪个季节的气温曲线图?请说明理由.提示:夏季的气温曲线图.原因是从气温曲线图上看,一天之中昼夜温差不是很大,最低气温是24℃左右.(2)从图中可以看出,从6时到10时为“气温陡增”的时段,它的数学意义是什么?提示:“气温陡增”是指温度在相同的时间内变化大,即温差大.(3)假设6时的气温是25℃,10时的气温是29℃,12时的气温是30℃,那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小?

(4)根据上述讨论,如果把图中的曲线看成函数y=f(x)的图象,那么所表示的实际意义是什么?提示:从x1时到x2时的气温的平均变化率.(5)观察气温曲线图,在6时到14时的气温曲线上任取两点A,B,在14时到20时的气温曲线上任取两点D,E,则直线AB和直线DE的斜率的符号如何?提示:直线AB的斜率大于零,直线DE的斜率小于零.

2.(1)直线的斜率与函数的单调性:一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记(2)函数的平均变化率:一般地,当x1≠x2时,称为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)或[x2,x1](x1x2时)上的平均变化率.

3.(1)设函数y=f(x)=2x+3,则y=f(x)在区间[1,4]上的平均变化率为.?(2)函数f(x)=-2x-1在区间[-2,4]上的平均变化率零.(填“大于”“小于”或“等于”)?(2)因为函数f(x)=-2x-1在区间[-2,4]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,4]上的平均变化率小于零.答案:(1)2(2)小于

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)任何一个函数图象上的两点确定的直线的斜率一定存在.()(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均变化率大于零,则函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减.()(3)若函数y=kx+b是其定义域上的减函数,则k0.()√×√×

合作探究释疑解惑

探究一利用函数的平均变化率证明函数的单调性

利用函数的平均变化率证明函数y=f(x)在区间[a,b]上的单调性的步骤(1)取值:任取x1,x2∈[a,b],设x1≠x2.

【变式训练1】求证:函数y=f(x)=x3-3x在区间[-1,1]上是减函数.

探究二函数平均变化率的应用【例2】一个高为H,盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示,现以均匀速度往水瓶中灌水,直到灌满为止.设水深为h时水的体积为V,则函数V=f(h)的图象大致是()

解析:水深h越大,水的体积V就越大,故函数V=f(h)是增函数,可排除选项A和B;由容器的形状可知,对于固定的Δh,随着h的不断增长,ΔV一开始越来越大,然后越来越小,故选D.答案:D

在本例中,当水瓶灌满水后,水深为H0,在水瓶的底部凿一个小孔,不考虑其他因素,假设水瓶中的水匀速流出.经过T0min全部流出.设经过tmin水瓶内的水深为H,则函数H=f(t)的图象大致是()

解析:时间t越大,水深H就越小,故函数H=f(t)是减函数,可排除选项C,D.由容器的形状可知,在固定的Δt时