人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用.ppt

第2课时函数奇偶性的应用第三章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.2.理解奇偶性对单调性的影响,并能综合应用奇偶性与单调性解决简单的问题.3.理解函数奇偶性的推广——对称性,并能应用函数图象的对称性解决简单的问题.

自主预习新知导学

一、函数的奇偶性对单调性的影响1.观察下面的函数图象并回答问题:

(1)根据函数的图象指出上面六个函数的奇偶性.提示:①③④中的函数是偶函数,②⑤⑥中的函数是奇函数.(2)指出①③④中函数的单调性.提示:单调区间(-∞,0)(0,+∞)①f(x)=x2减函数增函数③f(x)=|x|减函数增函数④f(x)=增函数减函数

(3)指出②⑤⑥中函数的单调性.提示:单调区间(-∞,0)(0,+∞)②f(x)=x增函数增函数⑤f(x)=x3增函数增函数⑥f(x)=减函数减函数(4)总结问题(2)(3)的答案,你能得到什么一般性的结论?提示:偶函数在x0与x0时的单调性是相反的,奇函数在x0与x0时的单调性是相同的.

2.(1)如果函数y=f(x)是偶函数,那么其在区间[a,b]与[-b,-a](或(-∞,0)与(0,+∞))上的单调性相反.(2)如果函数y=f(x)是奇函数,那么其在区间[a,b]与[-b,-a](或(-∞,0)与(0,+∞))上的单调性相同.

3.(1)已知定义在R上的偶函数y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,则f(-1)与f(-3)的大小关系是.?(2)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)内单调递减.若f(x-1)f(1),则x的取值范围是.?解析:(1)(方法一)因为y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,所以f(-1)f(-3).(方法二)因为y=f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).又y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以f(1)f(3),即f(-1)f(-3).(2)由题意可知函数y=f(x)在R上单调递减,所以不等式f(x-1)f(1)等价于x-11,解得x2.答案:(1)f(-1)f(-3)(2)(-∞,2)

二、函数图象的对称性1.已知二次函数f(x)=x2-4x,(1)函数f(x)=x2-4x图象的对称轴是什么?提示:直线x=2.(2)对任意的实数h,是否都有f(2-h)=f(2+h)成立?提示:是.(3)若函数y=g(x)对任意的实数h,都有g(2-h)=g(2+h),则y=g(x)的图象的对称轴是什么?提示:直线x=2.

(4)总结对上述各问题的讨论,若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数y=f(x)图象的对称轴是什么?(5)类比函数图象的对称轴,若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x),则函数y=f(x)图象的对称中心是什么?

2.一般地,对于定义域内的任意x,(1)若f(a-x)=f(b+x),则函数f(x)的图象关于直线对称,当a=b=0时,即为偶函数的定义.(2)若f(a-x)=2b-f(a+x),则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.当a=b=0时,即为奇函数的定义.3.(1)函数f(x)=x2+2x+1的图象的对称轴是.?(2)若函数y=f(x)满足f(1-x)=-f(1+x),则函数y=f(x)图象的对称中心是.?解析:(1)f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,所以函数f(x)=x2+2x+1的图象的对称轴是x=-1.答案:(1)x=-1(2)(1,0)

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(|x|).()(2)若存在x0使f(1-x0)=f(1+x0),则f(x)的图象关于直线x=1对称.()(3)函数y=f(1-x)与y=f(1+x)的图象关于直线x=1对称.()√××

合作探究释疑解惑

探究一函数的奇偶性对单调性的影响【例1】已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是.?解析:∵f(x)为偶函数,∴f(x-1)=f(|x-1|).又f(2)=0,∴f(x-1)0,即f(|x-1|)f(2).∵|x-1|,2∈[0,+∞),且f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,∴|x-1|2,即-2x-12,解得-1x3,∴x的取值范围是(-1,3).答案:(-1,3)

利用函数的奇偶性和单调性解不等式:解决此类问题时,要充分利用已知条件