备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业四十九　利用空间向量研究夹角问题.docx

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四十九利用空间向量研究夹角问题

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cosm,n=32,则l与α所成的角为(

A.30° B.60° C.120° D.150°

【解析】选B.由于cosm,n=32,所以m,n=30°,所以直线l与α所成的角为60°

2.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()

A.-1010 B.-120 C.120

【解析】选D.建立如图空间直角坐标系D-xyz,

设DA=1,则A(1,0,0),

C(0,1,0),E(0,12

则AC=(-1,1,0),DE=(0,12

设异面直线DE与AC所成的角为θ,

则cosθ=|cosAC,DE|=1010

3.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一个法向量为m=(-1,0,1),则平面α与平面ABC夹角的正弦值为()

A.336 B.36 C.34

【解析】选A.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=x-

令平面α与平面ABC的夹角为θ,

则cosθ=|cosm,n|=|m·n||

sinθ=1-cos2θ=336,所以平面

4.(5分)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为()

A.255 B.25 C.2

【解析】选B.以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,

则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),

所以PD=(0,1,-2),DC=(1,0,0),PB=(1,0,-2),

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),

则PD·

令z=1,得n=(0,2,1),

设直线PB与平面PCD所成角为θ,

则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为

sinθ=|cosPB,n|=|PB·n||

5.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,体对角线B1D与平面A1BC1交于E点,则A1E与平面AA1D1D所成角的余弦值为()

A.13 B.33 C.23

【解析】选D.如图,建立空间直角坐标系,

A1B=(0,1,-2),

设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),

则A1

令z=1,则y=2,x=2,所以m=(2,2,1),

DB1=(1,1,2),因为点E在B1

设DE=λDB1=(λ,λ,2λ),所以E(λ,λ,2λ),所以A1E=(λ-1,

因为A1E?平面A1BC1,所以A1E·m=0,即(λ-1,λ,2

所以2(λ-1)+2λ+(2λ-2)=0,解得λ=23,所以A1E

易得平面AA1D1D的一个法向量为n=(0,1,0),

设A1E与平面AA1D1D所成角为α,

所以sinα=A1E·n|

所以cosα=1-sin2α

6.(5分)(多选题)如图,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的两个不同的动点,AC=BC=CC1,AC⊥BC,则()

A.BC1⊥平面B1EF

B.若EF为定长,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值

C.直线BB1与平面B1EF所成角为π

D.平面A1ABB1⊥平面B1EF

【解析】选AB.由题可知,平面B1EF即平面B1AC.

以C为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,

设AC=1,由题可知:A(1,0,0),C(0,0,0),B1(0,1,1),B(0,1,0),C1(0,0,1),

设AB中点为D,则D12

由题可知CD⊥平面A1ABB1,

即CD=12,12,0

又CA=(1,0,0),CB

设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),

则n·

取y=1,则n=(0,1,-1).

对于A,由于BC1=(0,-1,1),则BC

故BC1⊥平面B1EF,A正确;

对于B,若EF为定长,由于B1到直线EF的距离即为B1到直线AC的距离,也为定值,于是△B1EF的面积为定值,又A1到平面B1EF的距离即为A1到平面B1AC的距离,为定值,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值,故B正确;

对于C,由于BB1=(0,0,1),所以直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值为|BB1·n||BB1||n

对于D,CD·n=12≠0,故平面A1ABB1与平面B1EF不垂直,D错误

7.(5分)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面