实变函数论西南辅导课程十至十四课件市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptVIP

实变函数

主讲教师：吴行平

辅导课程十

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例1设为可测集,试证

证实若或,

则结论显然

若且,则由

可测,取

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例2考察康脱闭集与相应开集

由上面定义知,

=1-=0

注意:这里我们得到了一个测度为0

不可数集例子

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第三节可测集（续）

定理1

（1）凡外测度为零集合是可测集,

我们称为零测集。

（2）零测集之任何子集仍为零测集。

（3）有限个或可数个零测集之并仍为

零测集。

证实:设，则对任何集合，有

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定理2区间都是可测集,且

定理3开集、闭集都是可测集。

证实由于任何非空开集可表示为可数多个互不相交左开右闭区间之并,而区间是可测,故开集可测。闭集作为开集之余集也是可测。

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我们指出主要一类集,它从开集出发,通过取余集,作至多可列次或并或交运算,所得到集统称为波雷尔集。这样,一切波雷尔集是可测。尤其,波雷尔集中有这样集值得注意,一个是可表为可列个开集交,称为集；另一个是可表为可列个闭集并,称为集。它们可用来结构任意可测集测度。

定理5凡波雷尔集都是可测集。

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定理6设E是可测集,则存在型集使

且

证实（1）先证任意给,存在开集G,使,且。

为此,先设,则由测度定义,

有一列开区间使

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令,则为开集,,

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另一方面,设,这时必为无界集, 但它总可表示成可数多个互不相交 有界可测集并

则为开集,且

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（2）依次取,由

证实中（1）存在开集,

使,

则为型集且

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定理7设E是可测集,则存在型集

使且

证实因可测,由定理6存在型集G使,。令,则 为型集且

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注意1定理6和定理7表明,可测集E是与某个集或某个集仅相差一个零测集。由于其逆也成立,这样我们就取得了一切可测集结构。

注意2不可测集是存在。

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实变函数

主讲教师:吴行平

辅导课程十一

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第四章可测函数

本章引进一个新函数类——可测函数类,并讨论它性质,为下一章勒贝格积分作准备。我们将看到,可测函数与我们熟悉连续函数有密切联系,在可测函数类中进行运算,如代数运算、取极限运算等是相称以便,所得结果仍是可测函数。

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第一节

可测函数及其基本性质

本节主要简介可测函数概念及其性质,通过本节学习,我们要掌握可测函数概念,可测函数基本性质,即可测函数四则运算和极限运算仍为可测函数,同时我们要知道可测集上连续函数,简朴函数,区间上单调函数均为可测函数。另外,本节最后给出“几乎处处”概念是一个很主要概念

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设E是一个可测子集（有界或无界）, 是定义在E上实函数（其值可认为无穷大）。

关于包括在内实数运算作下列要求:

是全体有限实数上确界，

是全体有限实数下确界:

上（下）方无界递增（减）数列

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对于任何有限实数

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无意义

设是任一实数,记

=

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定义1设是定义在可测集E上实函数。假如对每一个实数集 恒可测（勒贝格可测）,则称是定义在E上（勒贝格）可测函数。

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证实与对于E是互余,同样与对于E也是互余。故在前三个条件中,只须证实（1）充要性。

事实上,易知

=

=

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关于（4）充要性,只需注意表示式