学院《数学分析（一）》课程教学大纲.docx

《数学分析（一）》课程教学大纲

课程编号：0512001

课程总学时/学分：84/4.5

课程类别：学科基础与专业必修课

一、教学目的和任务

本课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、应用统计学专业的一门

重要基础课，既是学习数学分析（二）、实变函数、复变函数、常微分方程、泛函分

析、概率论与数理统计等后续课程的阶梯，也是深刻理解中学数学的基础，它的任

务是使学生掌握极限理论、一元函数微分学等方面的系统知识。

二、教学基本要求

通过本课程的学习，使学生对极限思想有系统地、全面地、正确的认识。掌握

极限理论与一元函数微分学，掌握利用极限理论研究函数性质基本的论证方法，获

得较熟练的演算和推理能力。本课程重点讲授极限理论、一元函数微积分学。主要

采用讲授的方式，对部分内容和习题课可采用讨论式教学。教材选用国家级规划教

材。

三、教学内容及学时分配

第一章实数集与函数（4学时）

教学要求：

1．掌握有关实数绝对值的性质与运算。

2．深刻理解确界概念与确界原理，并能运用于有关命题的运算与证明。

3．深刻理解函数意义，掌握函数的四则运算和几种特性。

教学重点：

绝对值与不等式，确界概念与确界原理，具有几种特性的函数。

教学难点：

确界概念与确界原理。

第二章数列极限（12学时）

教学要求：

1．深刻理解和熟练掌握数列极限的“ε?N”定义，会运用它验证给定的数列极

限。

2．理解并掌握数列极限的性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性质，迫

敛性，四则运算法则），会运用它证明或计算给定的数列极限。

3．掌握数列极限存在的单调有界准则和柯西收敛准则，能够运用这些准则证明

或判断数列极限的存在性。

2

4．掌握重要极限并能运用它计算某些数列极限。

教学重点：

数列极限的“ε?N”定义、性质及存在条件。

教学难点：

数列极限的“ε?N”定义，数列极限存在条件的运用。

第三章函数极限（14学时）

教学要求：

1．深刻理解各类函数极限的定义，能够用定义严格证明给定的函数极限。

2．掌握函数极限的性质（唯一性、局部保号性，局部保不等式性，迫敛性，四

则运算定理），能用它证明或计算给定的函数极限。

3．掌握函数极限的归结原则，并能用它来判断函数极限的存在性和计算某些数

列极限。

4．掌握函数极限的柯西准则，了解单侧极限的单调有界定理。

5．熟练掌握两个重要极限，并运用它们进行有关函数极限的计算。

6．掌握各类无穷小量与无穷大量的定义与性质，理解无穷小（大）量阶的概念。

7．会求曲线的渐近线。

教学重点：

函数极限概念、性质、运算法则，函数极限的求法。

教学难点：

函数极限的性质，函数极限存在的条件。

第四章函数的连续性（12学时）

教学要求：

1．深刻理解函数连续性概念，掌握间断点的概念及分类。

2．掌握连续函数的局部性质以及复合函数和反函数的连续性。

3．掌握闭区间上连续函数性质的证明及运用。

4．理解函数在区间上一致连续概念，能用定义验证给定函数在某区间上一致连

续或非一致连续性。

5.理解初等函数的连续性。

教学重点：

连续性概念，连续函数的性质，一致连续性，闭区间上连续函数的性质。

教学难点：

连续函数的性质，一致连续性，闭区间上连续函数性质的应用。

第五章导数与微分（16学时）

教学要求：

3

1．深刻理解导数概念和几何意义，并能用定义求某些函数在一点的导数，清楚

可导与连续的关系。

2．掌握求导法则与技巧（导数的四则运算，反函数导数，复合函数的导数，基

本求导法则与求导公式），能熟练地计算初等函数的导数。

3．理解函数可微的概念，掌握微分基本公式及微分法则，会求函数的微分，并

能用于近似计算。

4．理解高阶导数的概念，掌握莱布尼兹公式，会计算常见函数的高阶导数。

5．掌握参数方程所确定函数的求导方法。

教学重点：

导数的定义及求导法则，高阶导数的求法，微分概念及求法，参数方程所确定

函数的求导方法。

教学难点：

导数的求法，高阶导数的求法。

第六章微分学基本定理与不定式的极限（26学时）

教学要求：

1．深刻理解费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条

件和结论，特别是拉格朗日中值定理的分析意义与几何意义。

2．会证明费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

3．了解导函数的特性（达布定理）。

4．会用三个中值定理证明有关问题，学会构造辅助函数证明问题的方法，初步

具有应用中值定理论证问题的能力。

5．熟练掌握和正确运用罗比达法则，并能计算出各种不定式极限。

6．理解泰勒定理的内容与定义，能够用泰勒公式解题;了解皮亚诺型余项、拉格

朗日型余项。

7．掌握利用导数研究函数单调性与极值的理论、方法和步骤。

8．掌握函数函数的凸性及拐点概念，掌握函数凹（或凸）性的