人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系.ppt

;内容索引;课标阐释;基础落实?必备知识全过关;知识点1一元二次方程的解集

1.配方法

(1)一般地,方程x2=t:①当t0时,解集为;②当t=0时,解集为{0};③当t0时,解集为?.

(2)一般地,方程(x-k)2=t:①当t0时,解集为;②当t=0时,解集为{k};③当t0时,解集为?.;2.公式法;3.因式分解法

对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),左边若能因式分解,变成(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式,根据几个因式之积为0,则至少有一个因式为0,;名师点睛(1)因式分解法是解一元二次方程的特殊方法.

用因式分解法解一元二次方程是通过因式分解把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解,它在解符合某些特点的方程时很方便,当不能用因式分解法求解时,还需要利用公式法求解.

(2)用因式分解法解一元二次方程应注意的问题.①有些一元二次方程需要变形后(如移项,去括号,合并同类项等),才能用因式分解法求解;②用因式分解法解一元二次方程时,方程的一边必须为零;③不能在方程的两边同除以含有未知数的整式.;过关自诊

1.关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是()

A.两个不等的实数根

B.两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

答案C

解析∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-30,

∴该方程无实数根.;

2.(1)方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗?

提示不一定,a≠0时为一元二次方程,a=0,b≠0时为一元一次方程.

(2)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都可以化为(x-k)2=t的形式吗?;知识点2一元二次方程根与系数的关系

当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下关系:;名师点睛(1)根与系数的关系的应用:①不解方程,求与方程的根有关的代数式的值;②已知方程一根,求方程的另一根;③与根的判别式相结合,解决一些综合题.

(2)常见的涉及一元二次方程两根x1,x2的代数式的重要变形.;过关自诊

1.一元二次方程3x2-6x-7=0的两根和为.?

答案2

解析设3x2-6x-7=0的两根分别为x1,x2,

∴x1+x2=-=2.;重难探究?能力素养全提升;;解(1)(方法一)移项,得x2-2x=8,

配方,得(x-1)2=9,由此可得x-1=±3,

∴x1=4,x2=-2,∴方程的解集为{-2,4}.

(方法二)原方程可化为(x-4)(x+2)=0,

∴x-4=0或x+2=0,∴x1=4,x2=-2,

∴???程的解集为{-2,4}.;(3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0.

因式分解,得(x-1)(x-1-2)=0,

∴x-1=0或x-3=0,

∴x1=1,x2=3,∴方程的解集为{1,3}.;规律方法一元二次方程的常见解法

(1)开平方法:如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±或mx+n=±,从而通过降次转化为一元一次方程.

(2)配方法:

用配方法解一元二次方程的一般步骤是:

①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式;

②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式;

③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;

④用直接开平方法解变形后的方程.;(3)因式分解法

①平方差公式法;

②完全平方公式法;

③提取公因式法;

④十字相乘法.

(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:当b2-4ac≥0时,

;变式训练1求下列方程的解集:

(1)4x2-4x-1=0;(2)x2+3x+1=0;

(3)x2-7x+10=0.;(3)∵x2-7x+10=(x-2)(x-5),

∴原方程可化为(x-2)(x-5)=0,从而可知x-2=0或x-5=0,即x=2或x=5.

∴方程的解集为{2,5}.;;规律方法在求含有一元二次方程两根的代数式的值时,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时,要先根据原方程求出两根之和与两根之积,再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式,然后代入求值.;答案(1)15(2)10;;规律方法一元二次方程根的情况

1.一元二次方程的判别式

方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数,且a≠0):

当Δ=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;

当Δ=b2-4ac=0