人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.1.1 空间向量及其运算.pptVIP

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1空间向量的概念

(1)空间向量的定义;(2)空间向量的夹角;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×);2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有()

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

3.两个非零向量共线时,其夹角是多少?;知识点2空间向量的线性运算及其运算律;(2)数乘:λa,

①当λ≠0,a≠0时,

|λa|=,而且λa的方向:?

当λ0时,λa与a方向;?

当λ0时,λa与a方向;?

②当λ=0或a=0时,λa=0.

(3)线性运算律

①加法交换律:a+b=;?

②加法结合律:(a+b)+c=;?

③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=.?;名师点睛;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.()

(2)若a=λb(b≠0),则λ=.();A.a+b+c B.a+b-c

C.a-b-c D.-a+b+c;知识点3空间向量的数量积

(1)定义:空间中已知两个非零向量a,b,则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosa,b.

(2)规定零向量与任意向量的数量积为0.

(3)空间向量的数量积的性质:

①a⊥b?a·b=0(a,b均是非零向量);

②a·a=|a|2=a2;

③|a·b|≤|a||b|;

④(λa)·b=λ(a·b);

⑤a·b=b·a(交换律);

⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).;名师点睛

(1)空间向量的数量积的运算符号是“·”,不能省略,更不能写成“×”;

(2)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;

(3)若a·b=k,不能得出a=;

(4)a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明了命题“a·b=0?a=0或b=0”是错误的.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.()

(2)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).()

(3)若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.();3.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()

A.60° B.30° C.135° D.45°;重难探究?能力素养全提升;;答案C;规律方法解决有关向量概念的问题,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.相等向量只需方向相同,长度相等,与向量的始点和???点没有必然的联系.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比.;变式训练1

下列关于空间向量的说法中正确的是()

A.空间向量不满足加法结合律

B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反;;规律方法1.对于借助几何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘好几何体本身的特征,如平行、相等、垂直等.

2.转化与化归思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便其运算.;变式探究;变式训练2;;规律方法求两个向量数量积的方法;变式训练3;答案A;角度2利用数量积证明垂直问题

【例4】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,

∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

求证:PA⊥BD.;证明由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,;规律方法1.由数量积的性质a⊥b?a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.

2.用向量法证明线面(面面)垂直,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.;变式训练4

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.;又OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面GBD,

∴A1O⊥平面GBD.;角度3利用数量积求解距离或长度问题

【例5】平行四边形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.;规律方法利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的