专题11.10三角形的外角（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

专题11.10三角形的外角（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握三角形外角的定义；

2．能够运用三角形内角和定理与外角性质进行相关角的计算及相关证明问题.

【知识点梳理】

要点一、三角形外角定义

1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.

特别说明：

(1)外角的特征：

①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．

（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．

要点二、三角形外角性质

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．

要点三、三角形外角和

三角形的外角和等于360°.

特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360°

【典型例题】

类型一、三角形的外角性质

1．如图，已知//，若，，求的度数．

2．已知AB//CD，，，，求．

3．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

(1)AB//CD．如图a，点P在AB、CD外部时，∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？请说明理由

(2)如图b，将点P移到AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间又有何数量关系？请说明理由

4．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．

??

(1)求∠1度数；

(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．

5．如图∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数．

6．如图，点O是内一点，连接BO，CO，CO恰好平分，延长BO交AC于点E．已知，，，求和的度数．

7．如图，点M为△ABC的边BC的延长线上一点，CN平分∠ACM，BN平分∠ABC，且CN与BN相交于点N，求证：∠A＝2∠N．

8．一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，李师傅量得∠DCB＝142°，就判断这个零件不合格，试用三角形的有关知识说明这种判断的理由．

9．如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，

(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；

解：（1）结论：∠A2＝度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），

所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（）．

因为∠A1CM＝∠A1BC+∠，∠2＝∠1+∠（），

（完成以下说理过程）

(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；

(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）

类型二、三角形的内角外角综合训练

10．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．

(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；

②若∠ABC=100°，则∠E=________．

(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．

11．如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．

(1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC；

(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．

12．小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．

(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°，则∠E=．

(2)小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

1．

【分析】延长BE，交CD于点F，根据两直线平行内错角相等