直线与圆锥曲线的位置关系 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

2.8直线与圆锥曲线的位置关系;课标定位素养阐释;自主预习新知导学;一、直线与圆锥曲线的位置关系

1.若直线与圆锥曲线有两个交点,则直线与圆锥曲线是什么关系?

提示:相交.

2.当直线与圆锥曲线相交时,直线与圆锥曲线一定有两个交点吗?

提示:不一定.;3.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相离、相交和相切.

(1)从几何角度来判断,当相离和相切时,直线与圆锥曲线分别无公共点和有一个公共点;当相交时,直线与椭圆有两个公共点,但直线与双曲线、抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时,直线与抛物线的对称轴平行时)或两个.

(2)从代数角度来判断,将直线方程和圆锥曲线方程组成方程组,消去y(或x)得到关于x(或y)的一元方程,当方程无解时,必相离;当方程有两组解时,必

相交;当方程有一组解时,若化为x(或y)的方程的二次项系数非零,判断式为零,则必相切,若二次项系数为零,则必相交.;4.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是()

A.相离 B.相切

C.相交 D.无法确定

答案:C;二、圆锥曲线的弦

1.若直线y=kx+m(k≠0)与圆锥曲线F(x,y)=0交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则A,B两点之间的距离是多少?(用k,x1,x2表示或用k,y1,y2表示);2.一般地,直线与圆锥曲线有两个公共点时,则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦,线段的长就是弦长.简单地说,圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.

若直线l的斜率为k,与圆锥曲线C交于A(x1,y2),B(x2,y2)两点,则;【思考辨析】

判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)若直线与抛物线交于一点,则直线与抛物线相切.()

(2)若直线与圆锥曲线的相交弦为AB,且已知点A(x1,y1),点B(x2,y2),则

(k为AB所在直线的斜率).()

(3)一条直线与双曲线的两支的交点个数最多为3.()

(4)若直线l与圆锥曲线交于M,N两点,则线段MN就是此圆锥曲线的一条弦.

();合作探究释疑解惑;;试证明直线y=mx+1与椭圆+y2=1不可能相离.;判断直线与圆锥曲线的位置关系或求直线与圆锥曲线的交点个数问题,其常用方法是联立直线方程和圆锥曲线的方程,消元化成一元二次(或一次)方程通过二次(或一次)方程解的个数来判断.;【变式训练1】已知双曲线x2-=1,直线l的斜率为k,且过点P(1,1),当k为何值时,直线l与双曲线:

(1)有一个公共点;

(2)有两个公共点;

(3)无公共点?;;解:设直线AB的方程为y=kx+2(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

将y=kx+2代入y2=8x,得k2x2+(4k-8)x+4=0,Δ0,;解决此类问题的两种方法

(1)设出直线方程,将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.

(2)若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,可先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系求解.;【变式训练2】过点P(-1,1)的直线与椭圆交于A,B两点,若线段AB的中点为点P,求AB所在的直线方程及弦长|AB|.;因为点P为AB的中点,

所以x1+x2=-2,y1+y2=2.;;得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

由Δ=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)0,得a2+b21.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),;求圆锥曲线中的最值、取值范围问题一般有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值或取值范围的几何量或代数式表示为某个参数的函数,然后利用函数的性质或不等式进行求解.;;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:上面求解过程忽略了直线l与双曲线相交这一限制条件,故需要对求得的直线方程进行检验.;在求解直线与圆锥曲线相交的问题时,最后一定要检验所求直线与圆锥曲线是否相交.;【变式训练】已知双曲线x2-4y2=4,判断过点A(3,-1),且被点A平分的弦MN是否存在.若存在,求出弦MN所在直线的方程;若不存在,请说明理由.

解:由题意可知,所求直线方程的斜率存在,设过A(3,-1)的直线方程为

y=k(x-3)-1,

代入双曲线方程,整理得(4k2-1)x2-8k(3k+1)x+36