自然数的平方和公式的推导方法总结.pdfVIP

自然数的平方和公式的推导方法总结--第1页

自然数的平方和公式的推导方法总结

自然数的平方和就是

，它的结果是

。对于这一结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法一一总结如下，与大

家共享。

方法一：设数列

，其中

，则

的一阶差数列记为

，其中

，首项为

；

的二阶差数列记为

，其中

，首项为

；

的三阶差数列记为

，其中

自然数的平方和公式的推导方法总结--第1页

自然数的平方和公式的推导方法总结--第2页

，首项为

；

于是我们可知数列

为三阶等差数列。于是我们应用下面方法求可求出数列

的通项。

=5+

=5+2+2+……+2=

亦知当

时亦有

，

故有

=4+

=

=

自然数的平方和公式的推导方法总结--第2页

自然数的平方和公式的推导方法总结--第3页

亦知当

时亦有

。

故有

=1+

=

知当

时亦有

故有

=

=

。

点评：在上面的推导方法中，首先对组合数

的定义进行了推广，规定

自然数的平方和公式的推导方法总结--第3页

自然数的平方和公式的推导方法总结--第4页

。这样的推广对于组合数的性质并无影响。

即

对于nm时仍成立。（下文中所用的组合数都是推广后的组合数）于是我们有

；

。

另外，此种证法关键在于发现数列

是一个三阶等差数列，从而应用组合数性质导出其通项。如果我们将这一问题稍做

推广，就会得到k阶等差数列

通项公式的一般形式，即

。其中

表示数列

的

阶差数列的首项。

如果进一步推广，就会发现，数列

为k阶等差数列的一个充要条件是数列

的通项是一个关于n的k次多项式。于是我们应用这一结论，就会得到证法二。

证法二：设数列

自然数的平方和公式的推导方法总结--第4页

自然数的平方和公式的推导方法总结--第5页

，其中

，则由（1）知数列

是一个3阶等差数列，所以设

。

又因

，于是

解得

所以

。

点评：上面应用的方法是待定系数法，其关键在于发现数列

为三阶等差数列。

证法三：

。

所以

自然数的平方和公式的推导方法总结--第5页

自然数的平方和公式的推导方法总结--第6页

=

=

。

点评：此种证法是一次公开课中，由李爱廷老师提出的一种证法。此种证法

很简洁，关键在于对

进行了适当的分解，从而应用组合数性质，对公式进行了证明。此种证法还可继续

推广，用于证明更多的问题。如

则

=

。