数学物理方法第5章.ppt

（三）、?函数的傅里叶变换（四）、?函数的表示（1）、抽样函数表示法（2）、矩形脉冲表示法抽样函数例：求常数A的傅氏变换解：例：求符号函数解：的傅氏变换例：求阶跃函数解：的傅氏变换例：在边界条件f’(0)=0下，把定义在（0，?）上得函数f(x)=1-H(x-a)展开为傅氏积分解：偶延拓，有傅里叶余弦积分*对称写法记为原函数像函数例：将如图的单个矩形脉冲展为复数形式的傅氏变换解：o-?/2?/2hf(t)t例：求函数解：的傅氏变换例：求函数解：的傅氏变换（1）、线性定理证明：如：则（三）、傅里叶变换的性质（2）、导数定理证明：（3）、积分定理证明：而（4）、相似定理证明：（5）、延迟定理证明：（6）、位移定理证明：（7）、卷积定理证明：若其中称为f1(x)与f2(x)的卷积令（四）、多重傅里叶积分周期函数f(x,y,z)展开为F(k1,k2,k3)对称写法5.3?函数（一）、?函数的引入考虑一维金属线的密度若总质量为1集中在x=0处，则定义满足以上关系的函数称为?函数更一般(1)、若总质量为m集中在x=a处，则质量密度(2)、?函数为广义函数它没有随自变量改变而不断改变函数值又如电荷密度（二）、?函数的性质（1）、挑选性或证明：对于任意?0,有或对于-???,??0,有（2）、???+d?时间间隔冲量瞬时力（3）、瞬时力偶函数奇函数证：（4）、若f(x)为x0处连续的普通函数，则例：证：得证（5）、如?(x)=0的实根为xi（6）、证明：（7）、阶跃函数（8）、符号函数（9）、矩形脉冲函数**第五章傅里叶变换5.2傅里叶积分与傅里叶变换5.3?函数§5.1傅里叶级数（一）、周期函数的傅里叶展开设f(x)为周期为2l的函数§5.1傅里叶级数考虑的函数族为基本函数族将f(x)展开称为周期函数的傅里叶系数(在连续点x)狄里希利定理：(傅氏级数收敛条件）级数和=若f(x)满足：(1)、处处连续，或在每个周期有有限个第一类间断点(2)、或在每个周期有有限个极值点，级数收敛(在间断点x)（二）、奇函数与偶函数的傅里叶展开奇函数偶函数例：要求在（-?，?）上,f(x)=x2,展开为Fourier级数，在本题展开所得中置x=0，由此验证解：f(x)=x2，为偶函数x=0（三）、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开定义在有限区间上的函数，如在(0.l)上的f(x)，使延拓成为g(x)在(0,l)上有g(x)?f(x)傅里叶展开但要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓进行奇延拓成奇周期函数进行偶延拓成偶周期函数（四）、复数形式的傅里叶级数例：要求f(x)在它的定义区间的边界上为零，据此，展开解：定义在（0，?）上进行奇延拓成奇周期函数例：定义在（0，?）上的f(x)=x,在它的定义区间的边界上f’(0)=0,f(l)=0，据此，展开f(x)为傅氏级数解：（一）、实数形式的傅里叶变换设f(x)为定义在-?x?上的非周期函数§5.2傅里叶积分与傅里叶变换将g(x)展开傅里叶级数将f(x)看为周期函数g(x)于周期2l??的极限情况k=0,1，2，...l??余弦项正弦项称为傅里叶积分傅里叶变换式为振幅谱为相位谱对于偶函数，有傅里叶余弦积分对称写法对于奇函数，傅里叶正弦积分对称写法例：将如图的单个矩形脉冲展为傅氏积分解：o-TThf(t)t偶函数，有傅里叶余弦积分A(?)与?曲线称为频谱线（二）、复数形式的傅里叶变换第二个积分中，?换为-?