6.3.1　平面向量基本定理公开课教案教学设计课件资料.pptx

6.3.1平面向量基本定理

【目标认知】课程标准学业要求理解平面向量基本定理及其意义了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单数学问题

知识点平面向量基本定理1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=.?2.基底:若e1,e2,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基底.?不共线λ1e1+λ2e2不共线课前预习

【诊断分析】判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. ()(2)零向量可以作为基向量. ()(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. ()(4)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也就唯一确定. ()×课前预习××√

1.对平面向量基本定理的理解(1)基底不共线(2)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(3)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值.(4)e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0.备课素材

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探究点一对基底概念的理解[探索]平面向量的基底具备什么特征?课中探究解:(1)基底是两个不共线的向量;(2)基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.

例1(1)设{e1,e2}是某个平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为这个平面的基底的是()A.{e1+e2,e1-e2}B.{3e1-2e2,4e2-6e1}C.{e1+2e2,e2+2e1}D.{e2,e2+e1}课中探究[解析]∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),∴3e1-2e2和4e2-6e1共线,∴{3e1-2e2,4e2-6e1}不能作为这个平面内所有向量的一个基底.B

?[解析]由平面向量基本定理可知,①中说法正确.对于②,由平面向量基本定理可知,若基底确定,则同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,②中说法不正确.对于③,当λ1=λ2=0或μ1=μ2=0或λ1=λ2=μ1=μ2=0时,结论不成立,③中说法不正确.故选B.B课中探究

变式如果e1,e2是平面α内的一组基底,那么下列说法中正确的是()A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈RC.λ1e1+λ2e2,λ1,λ2∈R不一定在平面α内D.对于平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对[解析]A中说法正确;B中说法错误,这样的a只能是与e1,e2在同一个平面内的向量,不能是空间中的任一向量;C中说法错误,平面α内任一向量都可以表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D中说法错误,这样的λ1,λ2有且只有一对,而不是有无数对.故选A.A课中探究

[素养小结]考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.课中探究

探究点二用基底表示平面内的向量[探索]平面向量的基底唯一吗?课中探究解:不唯一,只要两个非零向量不共线,都可以作为平面的一组基底.

??课中探究图6-3-1

???课中探究图6-3-2

?课中探究图6-3-3?

[素养小结]将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至能用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.课中探究

探究点三平面向量基本定理的应用[探索]如果题目需要我们自己选择基底,选择的标准是什么呢?课中探究解:尽量选择知道长度和夹角的两个不共线向量作为基底,这样便于计算.

例3如图6-3-4所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求证:AP∶PM=4∶1.课中探究图6-3-4?

变式用向量法证明三角形的三条边的中线交于一点.课中探究?

?课中探究

拓展用向量法证明三角形的三条高线交于一点.课中探究?