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考案[十四]周测卷(十)数列的通项公式与数列的求和
(本试卷满分120分,测试时间90分钟)
一、单选题(本题共8个小题,每个小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024·云南临沧期中)数列eq\f(1,3),-eq\f(1,2),eq\f(3,5),-eq\f(2,3),…的通项公式可能是(D)
A.an=(-1)neq\f(1,4-n) B.an=(-1)n-1eq\f(1,4-n)
C.an=(-1)neq\f(n,n+2) D.an=(-1)n-1eq\f(n,n+2)
[解析]先将原数列变形,再分别视察分子、分母的规律即可求解.将数列eq\f(1,3),-eq\f(1,2),eq\f(3,5),-eq\f(2,3),…变为eq\f(1,3),-eq\f(2,4),eq\f(3,5),-eq\f(4,6),…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2,再结合正负的调整,可知其通项为an=(-1)n-1eq\f(n,n+2).故选:D.
2.(2024·北京北理工附中阶段练习)记Sn为数列{an}的前n项和.若an=n(8-n)(n=1,2,…),则(A)
A.{an}有最大项,{Sn}有最大项
B.{an}有最大项,{Sn}有最小项
C.{an}有最小项,{Sn}有最大项
D.{an}有最小项,{Sn}有最小项
[解析]依据题意,结合二次函数的性质分析{an}的最大项,再分析{an}的符号,据此分析可得{Sn}的最大项,即可得答案.依据题意,数列{an},an=n(8-n)=8n-n2,对于二次函数,y=-x2+8x,其开口向下,对称轴为x=4,即当x=4时,y=-x2+8x取得最大值,对于{an},n=4时,an最大;且当1≤n8时,an0,当n=8时,an=0,当n8时,an0,故当n=7或8时,Sn最大,故{an}有最大项,{Sn}有最大项;故选:A.
3.(2024·全国高三专题练习)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记an为图中虚线上的数1,3,6,10,…构成的数列{an}的第n项,则a50的值为(B)
A.1225 B.1275
C.1326 D.1362
[解析]视察前4项可得an=eq\f(n?n+1?,2),从而可求得结果.由题意可得a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,……,视察规律可得an=1+2+3+…+n=eq\f(n?n+1?,2),所以a50=eq\f(50×51,2)=1275,故选:B.
4.(2024·辽宁期中)数列{an}满意an+1=1-eq\f(1,an)(n∈N*),且a1=2,则a2022的值为(D)
A.2 B.1
C.eq\f(1,2) D.-1
[解析]依据数列的递推关系式,求得数列的周期性,结合周期性得到a2022=a3,即可求解.由题意,数列{an}满意an+1=1-eq\f(1,an)(n∈N*),且a1=2,可得a2=eq\f(1,2),a3=-1,a4=2,a5=eq\f(1,2),…,可得数列{an}是以2,eq\f(1,2),-1三项为周期的周期数列,所以a2022=a673×3+3=a3=-1.故选:D.
5.(2024·重庆市万州其次高级中学开学考试)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1an=eq\f(Sn,n)+2(n-1)(n∈N*),则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn+3n)))的前10项的和是(C)
A.290 B.eq\f(9,20)
C.eq\f(5,11) D.eq\f(10,11)
[解析]由an=eq\f(Sn,n)+2(n-1)(n∈N*)得{an}为等差数列,求得an=4n-3(n∈N*),得eq\f(1,Sn+3n)=eq\f(1,2n?n+1?)=eq\f(1,2)(eq\f(1,n)-eq\f(1,n+1))利用裂项相消求解即可.由an=eq\f(Sn,n)+2(n-1)(n∈N*)得Sn=nan-2n(n-1),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),整理得an-an-1=4,所以{an}是公差为4的等差数列,又a1=1,所以an=4n-3(n∈N*),从而Sn+3n=eq\f(n?a1+an?,2)+3n=2n2+2n=2n(n+1),所以eq\f(1,Sn+3n)=eq\f(1,2n?
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