人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.2.2 空间中的平面与空间向量.ppt

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1平面的法向量

(1)如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作.?

(2)平面的法向量的求法

在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:

①设平面的法向量为n=(x,y,z);

②找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);;过关自诊

1.一个平面的法向量是否唯一?;知识点2用空间向量处理平行或垂直关系

(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则_______?l⊥α;n⊥v?.?

(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则_______?α1⊥α2;n1∥n2?α1∥α2,或α1与α2重合.?;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.()

(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.()

(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.();2.设直线l的一个方向向量d=(6,2,3),平面α的一个法向量n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系是()

A.垂直

B.平行

C.直线l在平面α内

D.平行或直线l在平面α内;知识点3三垂线定理及三垂线定理的逆定理

三垂线定理:如果的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的

垂直,则它也和这条垂直.?

三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条在该平面内的垂直.?;过关自诊

三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?;重难探究?能力素养全提升;;解因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.;规律方法求平面的法向量的注意事项

(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.

(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量.

(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.;变式探究

本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.;变式训练1

已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),试求出平面ABC的一个法向量.;;证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以;规律方法证明线面、面面平行问题的方法

(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如例2(1)中,FC1?平面ADE一定不能漏掉.

(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.;变式训练2

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.;解存在点E使CE∥平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,

∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).;角度2证明线面垂直问题

【例3】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.

求证:AB1⊥平面A1BD.;证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.

因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,;又因为BA1∩BD=B,BA1,BD?平面A1BD,

所以AB1⊥平面A1BD.;规律方法1.用坐标法证明线面垂直的常用方法;2.对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题,如果只用基向量法