人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.5.2 椭圆的几何性质.ppt

第二章2.5.2椭圆的几何性质

课程标准1.掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系;2.能用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,并能准确地画出图形;3.能用椭圆的知识解决简单的实际问题.

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基础落实·必备知识全过关

知识点椭圆的几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程=1(ab0)=1(ab0)范围??顶点??椭圆与对称轴的交点-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤aA1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上轴长长轴长为,短轴长为?焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c对称性对称轴为,对称中心为?离心率e=∈,其中c=?2a2bx轴,y轴坐标原点(0,1)

名师点睛2.当离心率e越趋近于1时,椭圆越扁;当e越趋近于0时,椭圆越接近于圆.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)椭圆=1(ab0)的长轴长是a.()(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为=1.()××

C

3.[人教A版教材习题改编]焦点在x轴上,a=6,e=的椭圆方程是.

重难探究·能力素养全提升

探究点一椭圆的几何性质【例1】[人教A版教材例题]求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.点坐标分别是F1(-3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别是A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4)和B2(0,4).

规律方法讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,并准确判断焦点位置,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.

变式训练1已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程及其简单几何性质.

探究点二由几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.

如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,所以|A1A2|=2b=2c,所以c=b=3,所以a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方

规律方法此类问题应由所给的几何性质充分找出a,b,c所满足的关系式,进而求出a,b.在求解时,需注意椭圆的焦点位置,其次要注意平面几何知识的应用,将数形结合思想更多地渗透进去.

变式训练2[北师大版教材习题]求适合下列条件的椭圆的标准方程:

探究点三椭圆的离心率问题【例3】椭圆=1(ab0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为.?解析(方法一)如图,∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,

(方法二)注意到焦点三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,则由离心率的焦点三角形公式,可得

变式探究若例3改为如下:椭圆=1(ab0)的两焦点F1,F2,以F1F2为斜边作等腰直角三角形,三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为.?

规律方法求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b(或b,c),可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=求解.(2)几何法:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质,再借助a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=即可得到.(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2