备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业六十　圆锥曲线中的定点问题.docx

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六十圆锥曲线中的定点问题

(时间:45分钟分值:40分)

1.(10分)(2024·绍兴模拟)设抛物线C:y2=2px(p0),过y轴上点P的直线l与C相切于点Q,且当l的斜率为12时,|PQ|=25

(1)求C的方程;

【解析】(1)当l的斜率为12时,设直线l的方程为y=12x+b,l与C的方程联立消去y,得x2+4(b-2p)x+4b2=0,当l与C相切时,Δ=16(b-2p)2-16b2=0,整理有b=

此时x2-4px+4p2=0,所以x=2p,所以y=2p或-2p(舍去).故P(0,p),Q(2p,2p),所以|PQ|=(2p-0)2

故p=2,所以C的方程为y2=4x.

(2)过P且垂直于l的直线交C于M,N两点,若R为线段MN的中点,证明:直线QR过定点.

【解析】(2)设直线l的方程为y=kx+m,

l与C的方程联立,得k2x2+2(km-2)x+m2=0,

当l与C相切时,Δ=4(km-2)2-4k2m2=0,则km=1,m=1k,故Q(1k2

设直线MN的方程为y=-1kx+1k,与C的方程联立有x2-2(2k2+1)

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2(2k2+1),

y1+y2=-1kx1+1k-1kx2+1k=-1k(x1+x2)+2k=-4k,所以x1+

所以R(2k2+1,-2k),所以QR的方程为y+2k=2k+2k1k2

令y=0,则x-2k2-1=k

=-(2k2-

所以x=2,所以直线QR过定点(2,0).

2.(10分)(2023·全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率是5

(1)求C的方程;

【解析】(1)由题意可得b=2a2

所以椭圆方程为y29+x

(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.

【解析】(2)由题意可知:直线PQ的斜率存在,设PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立方程得y=k(x+2)+3y29+x24=1,消去y得:(4k2

则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k0,解得k0,

可得x1+x2=-8k(2k+3)4k

因为A(-2,0),则直线AP:y=y1x1

令x=0,解得y=2y1x1+2

同理可得N(0,2y2x2+2),则2

[

=2k

32

=10836

所以线段MN的中点是定点(0,3).

【加练备选】

(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A(0,-2),B(32,-1)两点

(1)求E的方程;

【解析】(1)因为椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A(0,-2),

可设椭圆E的方程为x2a2

又椭圆E过点(32

所以94a2+14

所以E的方程为x23+y

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT=TH,证明:直线HN过定点.

【解析】(2)当直线MN的斜率不存在时,lMN:x=1,

由x=1x23+y24=1,得

可得N(1,263),M(1,-

过点M且平行于x轴的直线方程为y=-263,直线AB的方程为y-(-2)=-1-(-2)32

由y=-263y

所以T(3-6,-263

因为MT=TH,所以H(5-26,-263

所以直线HN的方程为y-263=46326-4

所以直线HN过点(0,-2).

当直线MN的斜率存在时,

设M(x1,y1),N(x2,y2).

lMN:y=kx+m(k+m=-2),

由y=kx+mx23+y24=1得,(3k

x1+x2=-6km3k2+4,x1

过点M且平行于x轴的直线方程为y=y1,与直线AB方程联立,

得y=y1y=2

所以T(3(y1+2)2,y1),因为MT=TH,所以H(3y1+6-x1

y-y2=y1-y23y1+6-x1-x2(x-x2

令x=0,得y=y2-(y1-y2

因为y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=8m3k2+4,x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(

=2kx1x2+m(x1+x2)=-24k3k2+4,所以-(x1y2+x2y1)+3y1y2=-24(k2-3k

=12(

所以y=-24

所以直线HN过定点(0,-2).

综上,可得直线HN过定点(0,-2).

3.(10分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab

(1)求椭圆C的方程;

【解析】(1)由题意可得ca=12,a=2,得b=

所