备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业六十二　圆锥曲线中的最值、范围问题.docx

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六十二圆锥曲线中的最值、范围问题

(时间:45分钟分值:40分)

1.(10分)(2024·海口模拟)已知抛物线T:y2=2px(p0),点F为其焦点,直线l:x=4与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点,S△OMN=86.

(1)求抛物线T的方程;

【解析】(1)直线方程为x=4,将其代入抛物线可得y=±22p

由已知得S△OMN=12×4×42p=86,解得p=3,故抛物线T的方程为y2

(2)过x轴上一动点E(a,0)(a0)作互相垂直的两条直线,与抛物线T分别相交于点A,B和C,D,点H,K分别为AB,CD的中点,求|HK|的最小值.

【解析】(2)因为E(a,0),若直线AB,CD分别与两坐标轴垂直,

则直线AB,CD中有一条与抛物线只有一个交点,不合题意,所以直线AB,CD的斜率均存在且不为0.设直线AB的斜率为k(k≠0),

则直线AB的方程为y=k(x-a).

联立y2=6xy=k(x-a),得ky2

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则y1+y2=6k,设H(xH,yH),则yH=y1+y22=3k,则xH=y

所以H(3k2+a,3k),同理可得K(3k2+a

故|HK|=(3k2-3k

当且仅当k4=1k4且k2=1k

故|HK|的最小值为6.

2.(10分)(2024·深圳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e

(1)求椭圆C的方程;

【解析】(1)椭圆C的离心率e=22

则22=ca=1-b2

所以a=2b=2c,椭圆方程为x22b2

将点(4,1)代入方程得b2=9,

故所求方程为x218+y

(2)若经过定点(0,-1)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,记椭圆的上顶点为M,当直线l的斜率变化时,求△MPQ面积的最大值.

【解析】(2)点(0,-1)在椭圆C内,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1,由x218+y29=1,y=kx-1,得(2k2+1)x2-4kx-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k2k2

点M(0,3)到l的距离d=4k2+1,S△MPQ=12|PQ|·d=89k2+42k2+1.令t=2k2+1(t≥1),则k

因为01t≤1,所以当1t=1(k=0)时,S△MPQ

3.(10分)(2024·毕节模拟)已知抛物线M:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)的直线与抛物线M交于A,B两点,点A在第一象限,O为坐标原点.

(1)设P为抛物线M上的动点,求|OP

【解析】(1)依题意,抛物线M:y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=-1,设P(t2,2t),

则|OP|=(t2)2+(2t

因此|OP||FP|=t

而t2+1≥1,即有01t2+1≤1,则当1t2

当1t2+1=13,即t=±2时,

所以|OP||FP|的取值范围是

(2)记△AOB的面积为S1,△BOF的面积为S2,求S1+S2的最小值.

【解析】(2)显然直线AB不垂直于y轴,设直线AB的方程为x=my+2,

由x=my+2y2=4x消去x并整理得

设A(x1,y1),B(x2,y2),y10,y20,

则y1y2=-8,即y2=-8y

令(2,0)为点E,于是△AOB的面积为S1=12|OE|·(y1-y2)=y1-y2,△BOF的面积为S2=12|OF|·|y2|=-12

因此S1+S2=(y1-y2)+(-12y2)=y1-32y2=y1+12y1≥2y1·12y1=43,当且仅当y

所以S1+S2的最小值为43.

4.(10分)(2024·湛江模拟)已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,椭圆E的离心率为12,过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A,B

(1)求椭圆E的标准方程;

【解析】(1)由题意,椭圆E的离心率为12,可得ca=

又由椭圆的定义,可知|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=8,所以a=2,c=1,

又因为a2=b2+c2,所以b2=3,

所以椭圆E的标准方程为x24+y

(2)过F1且与l垂直的直线l与椭圆E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.

【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,

由x2

整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

则有y1+y2=-6m3m2+4,y1

故|AB|=(1+m2)[(y

设直线l的方程为x=-1my

设C(x3,y3),D(x4,y4),

联立方程得x2

整理得(3m2+4)y2+6

则有y3+y4=-6m3m2+4,y3

则|CD|=(1+1m2)[(