人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法.ppt

2.2.3一元二次不等式的解法第二章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.了解一元二次不等式的概念.2.掌握解一元二次不等式的两种方法:因式分解法和配方法.3.会解简单的分式不等式.4.提升逻辑推理和数学运算素养.

自主预习新知导学

一、一元二次不等式的概念1.下列式子是关于x的不等式,且x的最高次幂为2的是.(填序号)?①x2+2x-1=0;②x2≤5;③ax2-32x;④x-14-2x.答案:②2.一般地,形如ax2+bx+c0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“”“≥”“≤”等.3.下列不等式是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)的是()①x20;②-x-x2≤5;③ax22;④x3+5x-60;⑤mx2-5y0;⑥ax2+bx+c0.A.①②③⑤ B.①②④⑥C.①② D.①②③④答案:C

二、利用因式分解法解一元二次不等式1.试将代数式x2-2x-3因式分解.解:x2-2x-3=(x-3)(x+1).2.若x2-2x-30,则x-3与x+1的符号如何?提示:x-3与x+1同号,3.一般地,如果x1x2,则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).

4.解下列不等式:(1)x2-5x+60;(2)x2+6x+50.解:(1)因为原不等式等价于(x-2)(x-3)0,所以所求不等式的解集为(-∞,2)∪(3,+∞).(2)因为原不等式等价于(x+1)(x+5)0,所以所求不等式的解集为(-5,-1).

三、利用配方法解一元二次不等式1.能否将式子ax2+bx+c(a≠0)配成完全平方式?2.直接写出下列不等式的解集:(1)x2m(m0);(2)x2m(m0).

3.一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)2k的形式.当k=0时,(x-h)2k的解集为(-∞,h)∪(h,+∞);(x-h)2k的解集为?.当k0时,(x-h)2k的解集为R;(x-h)2k的解集为?.

4.解下列不等式:(1)x2-4x+3≥0;(2)x2+2x-40.解:(1)由x2-4x+3≥0,得(x-2)2≥1,解得x≥3或x≤1.故原不等式的解集为(-∞,1]∪[3,+∞).(2)由x2+2x-40,得(x+1)25,

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)x20是一元二次不等式.()(2)(x-x1)(x-x2)0的解集是(x1,x2).()(3)(x-2)2-3的解集为R.()(4)3可以变形为x3(2x-3).()√×√×

合作探究释疑解惑

探究一解一元二次不等式【例1】解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)x2-3x+50;(3)x2+x-2≤0;(4)-4x2≥1-4x;(5)2x2-4x+70.分析:将原不等式变形为(x-x1)(x-x2)0[或(x-x1)(x-x2)0]或(x-h)2k[或(x-h)2k]的形式后求解.

任何一元二次不等式都可以使用配方法求解.只有左边能变形为两个因式的积,右边为0的一元二次不等式才能使用因式分解法求解.

【变式训练1】解下列不等式:(1)-x2+2x-0;(2)8x-1≤16x2.(2)原不等式等价于16x2-8x+1≥0,即(4x-1)2≥0,故原不等式的解集为R.

探究二解分式不等式【例2】解下列不等式:

解分式不等式的关键是将其等价转化为整式不等式(组).

【变式训练2】解下列不等式:解:(1)原不等式等价于x-2≥0,解得x≥2.故原不等式的解集为[2,+∞).

探究三解含参数的一元二次不等式【例3】解关于x的不等式x2-2ax-3a2≤0(a∈R).解:原不等式等价于(x-3a)(x+a)≤0.当3a=-a,即a=0时,原不等式的解集为{0};当3a-a,即a0时,原不等式的解集为[-a,3a];当3a-a,即a0时,原不等式的解集为[3a,-a].

将本例变为:解关于x的不等式3a2x-2ax-1≤0(a∈R).解:当a=0时,原不等式的解集为R.当a≠0时,原不等式等价于(3ax+1)(ax-1)≤0.

若一元二次不等式可化为(x-x1)(x-x2)0(或0)的形式,则只需讨论x1,x2的大小就可以确定原不等式的解集.

【变式训练3】解关于x的不等式x2-2x+1-a0(a∈R).解:原不等式等价于(x-1)2a.当a0时,原不等式的解集为R;当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠1};

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