三次函数　课件——2025届高三数学一轮复习.pdfVIP

三次函数

一、定义

问题1:三次函数都有什么性质?

问题2:如何研究三次函数的性质?

二、图象及性质

求导得：f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)

(1)△0时f(x)=0的根为x?,x?

a0a0

x?X?

x?x?

-2x?X?

x?—2—

x?

性质：

1.有2个极值点，且极值点为导函数的零点

2.由于导函数的对称轴为?3a,

故三次函数有对称中心(f(x?))

(2)△≤0时，f(x)≥0恒成立

a0a0

6-

导函数图象—2—

—2

-4

2-

2--4

-6

三次函数图象

性质：

1.无极值点

2.由于导函数的对称轴为?3a,

故三次函数有对称中心(x?,f(x?)

△0△≤0

a0a0a0a0

x?x?

x?

x?

2个极值点，f(x)=O的根无极值点

一b

f(x)=O的根对称中

xo=

3a

三、三次函数的零点

问题3:三次函数f(x)的零点如何研究?

答：研究函数f(x)图象与x轴的交点个数

设函数f(x)的极值点为x,x?

以a0为例

(1)△0时

1个零点，则{a)-F2)?

x?

2个零点，则{a)-f?0

X?△0

3个零点，则

f(x?)·f(x?)0

1个零点，则△≤0