备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业十八　导数与函数的极值、最值.docx

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十八导数与函数的极值、最值

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)已知函数f(x)=x3-3x2-9x(-2x2),则()

A.f(x)的极大值为5,无极小值

B.f(x)的极小值为-27,无极大值

C.f(x)的极大值为5,极小值为-27

D.f(x)的极大值为5,极小值为-11

【解析】选A.f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),由f(x)0,得-2x-1,由f(x)0,得-1x2,所以函数f(x)=x3-3x2-9x(-2x2)在(-2,-1)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,所以函数f(x)=x3-3x2-9x(-2x2)在x=-1时,取得极大值5,无极小值.

2.(5分)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.由函数极值的定义和导函数的图象可知,f(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,

但是在原点附近的导数值恒大于零,

故x=0不是函数f(x)的极值点.

其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,

故极大值点有2个.

3.(5分)已知函数f(x)=x2-8x+6lnx+1,则f(x)的极大值为()

A.10 B.-6 C.-7 D.0

【解析】选B.因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=2x-8+6x=2(x-1)(x-3

故列表如下:

x

(0,1)

1

(1,3)

3

(3,+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(x)

单调递增

-6

单调递减

-14+6ln3

单调递增

所以f(x)的极大值为f(1)=-6.

4.(5分)函数f(x)=exx2

A.e36 B.e2 C.e34

【解析】选A.依题意f(x)=ex(x2-3)2(x2-2

故函数在(2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故函数在x=3处取得极小值也是最小值,且最小值为f(3)=e332

5.(5分)(多选题)(2023·怀化模拟)下列函数中,存在极值点的是()

A.y=x-1x B.y=2|x

C.y=-2x3-x D.y=xlnx

【解析】选BD.由题意,对于A,函数y=x-1x

则y=1+1x20,所以函数y=x-1x在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,没有极值点;对于B,函数y=2|x|=2x,x≥0,2-x,x0,则当x0时,函数y=2|x|单调递减,当x0时,函数y=2|x|单调递增,所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值;对于C,函数y=-2x3-x,则y=-6x2-10,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点;对于D,函数y=xlnx,y=lnx+1,则当x∈(0,1

6.(5分)已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a=()

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选A.令x+1=t,则f(x)=g(t)=t2+cost+a,g(t)=2t-sint,(2t-sint)=2-cost0,g(t)在R上单调递增,而g(0)=0,故t∈(-∞,0)时,g(t)0,g(t)单调递减,t∈(0,+∞)时,g(t)0,g(t)单调递增,故g(t)min=g(0)=1+a=4,解得a=3.

7.(5分)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x0),则获得最大年利润时的年产量为百万件.?

【解析】y=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),

当0x3时,y0;当x3时,y0.

故当x=3时,该商品的年利润最大.

答案:3

8.(5分)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则

【解析】由已知得f(x)=ex(x+a-1)(x+a)

则f(x)在(-∞,-a),(-a,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增,

所以f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=e,

即1-a=12,得a=1

答案:1

9.(5分)(2023·苏州模拟)函数f(x)=-13x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是

【解析】由于f(x)=-x2+1,易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,故若函数f(x)在(a,10-a2)上存在最大值,

则a1,10-

答案:[-2,1)

10.(10分)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.

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