人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;函数的单调性

1.观察下列函数图象,回答问题:;(2)在甲、乙图中,若x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是什么?

提示:在题干甲图中,若x1x2,则f(x1)f(x2);

在题干乙图中,若x1x2,则f(x1)f(x2).

(3)在丙图中,若任取x1,x2,且x1x2,f(x1)f(x2),则自变量x属于哪个区间?

提示:(0,+∞).;2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I?D:

(1)如果对任意x1,x2∈I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增);

(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减).

两种情况下,都称函数在区间I上具有单调性(区间I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).;3.(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是减函数,则f(3)和f(5)的大小关系是.?

(2)已知函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图

所示,则函数f(x)的单调递增区间是.?

(3)若函数f(x)在区间(-5,-1)内是减函数,在区间(1,5)内是增函数,则f(x)可以是.(写出一个即可)?

解析:(1)因为函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是减函数,35,所以f(3)f(5).

(2)由题中图象知,f(x)的单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6].

答案:(1)f(3)f(5)(2)[-1.5,3]和[5,6](3)f(x)=x2(答案不唯一);【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.

(1)如果函数f(x)在区间(a,b)和(c,d)内都是减函数,则f(x)在区间(a,b)∪(c,d)内是减函数.()

(2)用定义证明函数的单调性时,可设x1x2,也可设x1x2.()

(3)证明函数的单调性时,在该区间内取几个值验证一下即可.();合作探究释疑解惑;;由图象确定函数单调性的方法及注意事项

(1)若图象从左向右上升,则函数单调递增;若图象从左向右下降,则函数单调递减.

(2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.;【变式训练1】画出函数y=-x2+2|x|+1的图象,并写出该函数的单调区间.;;利用定义证明函数单调性的步骤;【变式训练2】求证:函数f(x)=在区间(0,+∞)内是减函数,在区间(-∞,0)内是增函数.;当x1,x2∈(-∞,0)时,

∵x1x20,∴x2-x10,x1+x20,0.

∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).

∴函数f(x)=在区间(-∞,0)内是增函数.

当x1,x2∈(0,+∞)时,

∵0x1x2,

∴x2-x10,x2+x10,0.

∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).

∴函数f(x)=在区间(0,+∞)内是减函数.;;把例3中的函数换为f(x)=-x2-2ax,其余条件不变,求实数a的取值范围.;已知函数的单调性或单调区间求参数的取值范围,要将参数视为已知数,依据函数的图象或函数单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知的单调区间比较求参数.;【变式训练3】已知函数f(x)=kx在R上是增函数,则实数k的取值范围是.?

解析:因为f(x)在R上是增函数,所以对于任意的x1,x2∈R,且x1x2,

f(x1)-f(x2)=kx1-kx2=k(x1-x2)0,

又x1-x20,所以k0.

答案:(0,+∞);;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:上述解法没有树立定义域优先的观念,忽视函数的定义域为[-1,1],直接利用单调性得到不等式x-21-x,从而得出x的错误答案.;解得1≤x≤2.①

因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,

且f(x-2)f(1-x),

所以x-21-x,

解得x.②

由①②,得1≤x.

;1.解决此类问题的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为解不等式(组).

2.若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意x1,x2∈D,f(x1)f(x2),则x1x2;若函数y=f(x)在区间D上是减函数,对任意x1,x2∈D,f(x1)f(x2),则x1x2.需要注意的是,不要忘记函数的定义域.;随堂练习;1.已知函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的单调递增区间是()

A.[