人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.2 第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系.ppt

第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系第三章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.了解二次函数的零点及其对应方程、不等式的解集之间的关系.

自主预习新知导学

一、函数的零点1.观察函数图象并回答下列问题:函数f(x)的图象如图所示.(1)根据函数f(x)的图象,你能否得出方程f(x)=0的根的个数?提示:方程f(x)=0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标.由题图可知,方程f(x)=0有3个根,即x=-3,-1,2.(2)你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系?提示:方程的根是使函数值等于零的自变量的值,也就是函数的图象与x轴交点的横坐标.

2.(1)零点的定义:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.(2)α是函数f(x)零点的充分必要条件是,(α,0)是函数图象与x轴的公共点.

3.(1)函数y=x+4的零点是()A.(0,4) B.(4,0) C.-4 D.4(2)下列各图象表示的函数没有零点的是()

解析:(1)令x+4=0,得x=-4,所以函数的零点为-4.(2)因为选项D中的函数图象与x轴没有公共点,所以其表示的函数没有零点.答案:(1)C(2)D

二、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.

(1)请列表表示出方程的根、函数的图象及图象与x轴交点的坐标.提示:方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数的图象???

方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(-1,0),(3,0)(1,0)无交点

(2)由问题(1)的答案可以得到什么结论?提示:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.

2.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):判别式方程f(x)=0的解函数f(x)的零点函数f(x)的图象与x轴的公共点Δ0x1,x2x1,x2(x1,0),(x2,0)Δ=0x0x0(x0,0)Δ0不存在没有零点没有公共点

3.(1)若关于x的方程x2+bx+c=0的根为2和3,则关于x的不等式x2+bx+c0的解集为.?(2)若函数f(x)=ax2+x+c的零点是-2和3,则实数a=,c=.?解析:(1)因为函数f(x)=x2+bx+c的图象是开口向上的抛物线,且方程x2+bx+c=0的根为2和3,所以不等式x2+bx+c0的解集为(2,3).(2)因为函数f(x)=ax2+x+c的零点是-2和3,所以-2和3是方程ax2+x+c=0的根,解得a=-1,c=6.答案:(1)(2,3)(2)-16

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)f(x)=x2的零点是0.()(2)函数的零点是一个点.()(3)若方程没有实数根,则对应的函数没有零点.()√×√

合作探究释疑解惑

探究一求函数的零点【例1】求下列函数的零点:(1)f(x)=x2-;(2)y=(ax-1)(x+2).解:(1)∵f(x)=x2-,∴x≠0.令f(x)=0,即x3-1=0,∴x=1,∴f(x)=x2-的零点为1.

函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

【变式训练1】求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2-4x-4;解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2,所以函数的零点为x=-2.所以函数的零点为x=1.

探究二函数零点个数的判断【例2】已知a∈R,讨论关于x的方程|x2-6x+8|=a的实数解的个数.解:令f(x)=|x2-6x+8|,在平面直角坐标系中画出f(x)的图象,如图所示.下面对a进行分类讨论:当a0时,原方程无实数解;当a=1时,原方程实数解的个数为3;当0a1时,原方程实数解的个数为4;当a1或a=0时,原方程实数解的个数为2.

判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程的根转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.(2)