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RSA加密算法的原理与实现

1子标题1.1：RSA加密算法的原理与实现

RSA算法是一种非对称加密算法，由RonRivest,AdiShamir和LeonardAdleman在1977年提出，其名称即由这三位发明者的名字首字母组成。RSA算法基于大数分解的困难性，即在现代计算机技术下，分解一个大合数为两个质数因子是一个极其耗时的过程。这一特性保证了RSA算法的安全性。

1.1原理

密钥生成：

选择两个大质数(p)和(q)。

计算(n=pq)。

计算欧拉函数((n)=(p-1)(q-1))。

选择一个整数(e)，使得(1e(n))，并且(e)与((n))互质。

计算(d)，使得(de(n))。(d)是(e)的模逆元。

公钥为((n,e))，私钥为((n,d))。

加密：

假设(M)是明文消息，(Mn)。

计算密文(C=M^en)。

解密：

接收密文(C)，使用私钥(d)和(n)。

计算明文(M=C^dn)。

1.2实现示例

下面是一个使用Python实现的RSA加密算法示例：

importrandom

frommathimportgcd

defis_prime(num):

检查一个数是否为质数

ifnum=1:

returnFalse

ifnum=3:

returnTrue

ifnum%2==0ornum%3==0:

returnFalse

i=5

whilei*i=num:

ifnum%i==0ornum%(i+2)==0:

returnFalse

i+=6

returnTrue

defgenerate_prime(length):

生成一个指定长度的质数

whileTrue:

num=random.getrandbits(length)

ifis_prime(num):

returnnum

defmod_inverse(a,m):

计算a的模m逆元

m0,x0,x1=m,0,1

ifgcd(a,m)!=1:

returnNone

whilea1:

q=a//m

m,a=a%m,m

x0,x1=x1-q*x0,x0

returnx1+m0ifx10elsex1

defgenerate_keypair(p,q):

生成公钥和私钥

n=p*q

phi=(p-1)*(q-1)

e=random.randrange(1,phi)

g=gcd(e,phi)

whileg!=1:

e=random.randrange(1,phi)

g=gcd(e,phi)

d=mod_inverse(e,phi)

return((n,e),(n,d))

defencrypt(public_key,message):

加密消息

n,e=public_key

cipher=[pow(ord(char),e,n)forcharinmessage]

returncipher

defdecrypt(private_key,cipher):

解密消息

n,d=private_key

plain=[chr(pow(char,d,n))forcharincipher]

return.join(plain)

#示例：生成密钥对，加密和解密消息

p=generate_prime(128)

q=generate_prime(128)

public,private=generate_keypair(p,q)

message=Hello,RSA!

cipher=encrypt(public,message)

print(密文:,cipher)

decr