人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系.ppt

;内容索引;课标要求;基础落实?必备知识全过关;知识点1函数的零点

(1)定义:

一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.

(2)性质:

①当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号.

②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.;名师点睛

对零点的理解

(1)函数的零点可以理解为一个函数的图象与x轴的交点的横坐标.

(2)方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.;过关自诊

下列函数中没有零点的是()

答案D

解析由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.由于函数f(x)=中,对任意自变量x的值,均有≠0,故函数不存在零点.;知识点2二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系

设f(x)=ax2+bx+c(a0);Δ=b2-4ac;过关自诊

1.二次函数没有零点的等价说法是什么?

提示二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图象与x轴没有交点.

2.如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,你能得出什么结论?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为?,结论又如何?

提示(1)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,;知识点3零点存在定理及分类

(1)函数零点存在定理:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即?x0∈(a,b),f(x0)=0.

(2)分类:;名师点睛(1)一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:①函数f(x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)f(b)0.这两个条件缺一不可.

(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.;过关自诊

对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)0一定成立吗?

提示对于函数f(x),若满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间[a,b]内不一定有零点,如图1所示;若函数f(x)在区间[a,b]内有零点,则不一定有f(a)f(b)0,如图2所示.;知识点4求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法

(1)二分法的定义:

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:

在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且f(a)f(b)0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|ε的一般步骤如下:;;这些步骤可用如图所示的框图表示.;过关自诊;2.用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?

提示不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间[a,b]内,都不满足f(a)f(b)0,所以无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.;重难探究?能力素养全提升;;解(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),

所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.

故函数的零点是-3,1.

(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),

所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.

故函数的零点是-1,1.;规律方法求函数零点的方法

1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.

2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.;变式训练1求f(x)=x3-4x的零点.

解令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得x1=0,

x2=-2,x3=2.

所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.;;(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,

∴不等式x2-4x+40的解集为(-∞,2)∪(2,+∞).

(3)原不等式可化为x2-2x+30,