人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 复习课 第1课时 空间向量与立体几何.ppt

;内容索引;知识梳理构建体系;;;3.数乘向量λa(λ∈R)是如何规定的?

提示:(1)当λ=0或a=0时,λa=0;(2)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向:①当λ0时,与a的方向相同;②当λ0时,与a的方向相反.

4.空间向量的数量积是如何定义的?数量积有哪些性质?

提示:a·b=|a||b|cosa,b

性质有:①a⊥b?a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a||b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交换律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).;5.空间向量基本定理.

(1)共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.

(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.

(3)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.

(4)空间向量基本定理:如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}称为空间向量的一组基底.;6.空间向量的坐标表示,请填空.已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则

(1)ua+vb=(u,v∈R).?

(2)|a|==.?

(3)a·b=.?

(4)当a≠0时,a∥b?b=λa?(其中λ∈R).?

(5)a⊥b?a·b=0?.?

答案:(1)(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2)

(2)(3)x1x2+y1y2+z1z2

(4)x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1

(5)x1x2+y1y2+z1z2=0;7.空间M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)两点间的距离公式及中点坐标公式是什么?;8.直线间的关系与它们方向向量有何联系?

提示:设直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,则

(1)v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合.

(2)l1与l2的夹角θ,θ=v1,v2或θ=π-v1,v2.

(3)l1⊥l2?v1,v2=?v1·v2=0.;10.三垂线定理和它的逆定理是什么?

提示:定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.

逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.;11.如何用向量法求空间角?;12.怎样用向量法求空间中的距离?;(3)面面距离:如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为

(4)两点间的距离:已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为;【思考辨析】

判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)单位向量都相等.()

(2)若两向量相等,则它们的模相等.()

(3)对于任意一个非零向量a,λa(λ∈R)可以表示所有与a共线的向量.()

(4)零向量与任意两个向量共面.()

(5)若两直线的方向向量平行,则两直线平行.()

(6)若两平面的法向量垂直,则两平面垂直.()

(7)二面角的大小等于其两半平面的法向量的夹角.()

(8)若平面α∥平面β,则α上任意一点到平面β的距离都等于α,β之间的距离.

();专题归纳核心突破;;平行四边形法则和三角形法则是向量线性运算的基本法则,充分理解相应法则是求解此类问题的基础.;专题二利用空间向量解决平行、垂直问题

【例2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.

(1)求证:直线EF∥AC1;

(2)若EF是两异面直线B1D1,A1B的公垂线,求证:该长方体为正方体.

分析:利用直线的方向向量和平面的法向量求解问题.;有些问题中的线线、线面、面面平行垂直的问题,使用向量转化为代数运算,往往能化难为易,产生事半功倍的效果.;【变式训练2】如图,在四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.;专题三向量法求空间角

【例3】如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE与AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.

(1)求证:AM⊥平面EBC;

(2)