2024-2025年新高考数学专题八空间几何体的表面积和体积（十年高考真题汇总）.pdf

专题八立体几何

8.1空间几何体的表面积和体积

考点一空间几何体的结构特征

1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为

√

()

A.2B.2√2C.4D.4√2

答案B设圆锥的母线长为l,由题意得πl=2π·√2,

∴l=2√2.故选B.

易错警示1.不清楚圆锥侧面展开图是扇形;2.记不清扇形弧长公式.

2.(2020课标Ⅰ理,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四

棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正

方形的边长的比值为()

√5−1√5−1√5+1√5+1

A.B.C.D.

4242

答案C如图,设正四棱锥的底面边长BC=a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高

2

PO=√ℎ2−,

4

2

2

∴以|PO|为边长的正方形面积为h-,

4

一个侧面三角形面积为1ah,

2

21

2=ah,

∴h-

42

22

∴4h-2ah-a=0,

2

ℎℎ

两边同除以a2可得4()−2·-1=0,

ℎ1±√5

解得=,

4

ℎℎ√5+1

又∵0,∴=.故选C.

4

解题关键利用以四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,求得底面边长a

与侧面等腰三角形底边上的高h之间的关系是求解本题的关键.

考点二空间几何体的表面积与体积

1.(2021北京,8,4分)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:

平地降雨量(mm)0~1010~2525~5050~100

降雨等级小雨中雨大雨暴雨

如图所示,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,那么这24小时降雨的等级是()

A.小雨B.中雨

C.大雨D.暴雨

答案B命题意图:本题以测量24小时内降水在平地上的积水厚度为载体,考查学生的空间想象能力、

运算求解能力以及应用意识,考查的核心素养是数学运算、直观想象,落实了应用性、综合性和创新性的考

查要求.

解题思路:作圆锥的轴截面如图,设圆锥形容器中水面的半径为rmm,由题意得=150,所以r=50,则容器