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1、Solvetherecurrencerelationan=an-1+an-2witha0=a1=1usinggeneratingfunction.
2、Determinethenumberofthetermsintheexpansionof
(x1+x1+…+x10)20.
3、将m个无区别的球,放入n个有区别的盒子,在允许有空盒和不允许有空盒两种情况下分别讨论可能的放法数。
4、求n元集合到m元集合单射、满射、双射的个数。
5、用容斥原理求1~n中与n互素的元素个数。
6、G,*是个群,x∈G,定义G中的运算“?”为a?b=a*x*b,对?a,b∈G,证名G,?也是群。
证明:1)?a,b∈G,a?b=a*x*b∈G,运算是封闭的。
2)?a,b,c∈G,(a?b)?c=(a*x*b)*x*c=a*x*(b*x*c)=a?(b?c),运算是可结合的。
3)?a∈G,设E为?的单位元,则a?E=a*x*E=a,得E=x-1,存在单位元。
4)?a∈G,a?x-1*a-1*x-1=a*x*x-1*a-1*x-1=x-1=E,
x-1*a-1*x-1?a=x-1*a-1*x-1*x*a=x-1=E,a的逆元为x-1*a-1*x-1,每个元素都有存在。所以G,?也是个群
7、设G,*是有限交换群,a,b∈G,|a|=m,|b|=n,m,n是整数,且GCD(m,n)=1即m,n互素,证明:|ab|=mn
证明:设|ab|=k,因为(ab)mn=(ab)(ab)…(ab)=(am)n(bn)m=e,所以k|mn,
e=((ab)k)m=(ab)km=(akm)(bkm)=bkm,所以n|km,由于GCD(m,n)=1,所以n|k
同理可求,所以m|k.
所以有mn|k,mn=k,|ab|=mn
8、设S,+,·是环,1是其乘法幺元,在S上定义运算 和 :
a?b=a+b+1,a?b=a+b+a·b。
(1)证明S,?,?是一个环。
(2)给出S,?,?的关于运算?和?的单位元。
证明:(1)对任意a、b、c∈S,
则(a?b)?c=a?b+c+1=a+b+c+1+1,
a?(b?c)=a+b?c+1=a+b+c+1+1,
于是(a?b)?c=a?(b?c),即?满足结合律。
a?b=a+b+1=b+a+1=b?a,所以?是可交换的。
a?(-1)=a+(-1)+1=a=(-1)?a,
所以-1是?单位元。
a?(-1-1-a)=a+(-1-1-a)+1=-1=(-1-1-a)?a,
所以-1-1-a是a的逆元。
综上可知,S,?是一个交换群。
(2)(a?b)?c=a?b+c+(a?b)·c=a+b+a·b+c+(a+b+a·b)·c
=a+b+a·b+c+a·c+b·c+a·b·c
a?(b?c)=a+b?c+a·(b?c)
=a+b+c+b·c+a·(b+c+b·c)
=a+b+c+b·c+a·b+a·c+a·b·c
所以(a?b)?c=a?(b?c),即?满足结合律。
又a?0=a+0+a·0=a,
0?a=0+a+0·a=a,
0是?单位元
因而S,?是有幺元的半群。
a?(b?c)=a+b?c+a·(b?c)
=a+b+c+1+a·(b+c+1)=2a+b+c+a·b+a·c+1
(a?b)?(a?c)=a?b+a?c+1=a+b+a·b+a+c+a·c+1
=2a+b+c+a·b+a·c+1
a?(b?c)=(a?b)?(a?c),
所以?对?满足分配律。
从而S,?,?是一个环。
9、设G是一个群,e是G的单位元,H是G的子群.如下定义关系R:证明R是G上的等价关系.
证明:对于任意的a?G,∵aea-1=e?H, ∴a,a?R,故R是自反的。
对于任意的a,b?G,若a,b?R,
∴aeb-1?H,∴(aeb-1)-1=(ab-1)-1=ba-1?H,
∴b,a?R,故R是对称的。
对于任意的a,b,c?G,若a,b?R,b,c?R, ∴aeb-1?H且bec-1?H,
∴(aeb-1)(bec-1)=ac-1?H, ∴a,c?R,故R是传递的
10、G,*是个群,u∈G,定义G中的运算“?”为a?b=a*u-1*b,对任意a,b∈G,求证:G,?也是群。
证明:1)?a,b∈G,a?b=a*u-1*b∈G,运算是封闭的。
2)?a,b,c∈G,(a?b)?c=(a*u-1*b)*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a?(b?c),运算是可结合的。
3)?a∈G,设E为?的单位元,则a?E=a*u-1*E=a,得E
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