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普通高中数学作业选择性必修一第二章直线与圆的方程
PAGE1
第15课时2.5.1直线与圆的位置关系(3)
一、单选题
1.已知圆与直线切于点,则直线的方程为
A. B.
C. D.
答案:A
解析:因为点在圆上,所以切线的方程为,整理得.故选A.
2.过点向圆作切线,则切线长为
A. B. C. D.
答案:A
解析:设切点为,圆心为,则切线长.故选A.
3.在平面直角坐标系中,过点作圆的两条切线,切点分别为.则直线的方程为
A. B.
C. D.
答案:B
解析:因为点在圆外,所以直线的方程为,整理得.故选B.
4.过点向圆引圆的两条切线,则弦的长为
A. B. C. D.
答案:B
解析:直线的方程为,所以圆心到直线的距离,所以弦的长为.故选B.
5.设点为直线上任意一点,过点作圆的切线,切点分别为,则直线必过定点
A. B. C. D.
答案:B
解析:因为圆到直线的距离,所以与圆相离,设点,则直线的方程为,即,由得直线过定点.故选B.
6.已知是直线上任意一点,过点作两条直线与圆相切,切点分别为.则的最小值为
A. B. C. D.
答案:A
解析:设,则直线的方程为,整理得,由得直线过定点,因为点在圆内,且,所以的最小值为.故选A.
7.设为直线上的动点,为圆的两条切线,为切点,则四边形面积的最小值为
A. B. C. D.
答案:A
解析:因为,所以.故选A.
8.已知,过点作圆(为参数,且)的两条切线分别切圆于点,则的最大值为
A. B. C. D.
答案:C
解析:因为圆心在直线上运动,所以点,此时,所以,所以,所以.故选C.
二、多选题
9.已知直线交轴于点,圆,过点作圆的两条切线,切点分别为,直线与交于点,则
A.若直线与圆相切,则
B.当时,四边形的面积为
C.直线经过一定点
D.已知点,则为定值
答案:ACD
解析:对于A,当直线与圆相切,则,解得,所以A正确;对于B,当时,,则,故B错误;对于C,,所以直线的方程为,经过定点,所以C正确;对于D,因为,所以点的轨迹是以为直径的圆,其方程为,圆心为,所以为定值,所以D正确.故选ACD.
10.已知直线,圆,是上一点,分别是圆的切线,则
A.直线与圆相切
B.圆上的点到直线的距离的最小值为
C.存在点,使
D.存在点,使为等边三角形
答案:BD
解析:因为圆的半径,又圆心到直线的距离,所以与圆相离,所以A错;圆上的点到直线的距离的最小值为,所以B正确;当时,最大,此时,,所以,所以,所以不存在点,使,所以C错;当时,为等边三角形,所以D正确.故选BD.
11.点是直线上的一个动点,是圆上的两点.则
A.存在,使得
B.若均与圆相切,则弦长的最小值为
C.若均与圆相切,则直线经过一个定点
D.若存在,使得,则点的横坐标的取值范围是
答案:BCD
解析:对于任意的点,当直线均与圆相切时且线段最短时,最大,此时,所以为锐角,所以不存在,使得,所以A错;若均与圆相切,则线段最短时弦长最小,此时点的坐标为,所以直线的方程为,所以,所以B正确;设,若均与圆相切,则直线的方程为,恒过定点,所以C正确;若存在,使得,则需均与圆相切时,,此时,所以可得,设,则,解得,所以D正确.故选BCD.
三、填空题
12.过点作圆的两条切线,切点分别为,则直线方程是.
答案:
13.过直线上的一点向圆作两条切线.设与的夹角为,则的最大值为.
答案:
解析:设切点分别为,记圆的圆心为,半径为,点到直线的距离,因为,所以的最大值为,所以的最大值为,所以的最大值为.
14.设为直线上的动点,为圆的两条切线,为切点,则四边形面积的最小值为.
答案:
解析:因为圆心到直线的距离,所以.
15.设点是直线上的动点,过点引圆的切线(切点为,若的最大值为,则该圆的半径的值等于.
答案:
解析:因为圆的圆心到直线的距离,因为的最大值为,所以的最大值为,又,所以.
四、解答题
16.过做圆的两条切线,切点为.
(1)求切线的方程;
(2)求线段长度.
解析:(1)当切线斜率不存在时,方程为满足条件;
当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
由,解得,所求直线方程为,
故所求切线方程为或.
(2)因为直线的方程为,即,
所以圆心到直线的距离,
所以.
17.已知圆.
(1)过点向圆作切线,求切线的方程;
(2)若为直线上的动点,过向圆作切线,切点为,求的最小值.
解析:(1)当切线的斜率不存在时,满足条件.
切线的斜率存在时,设方程为,即,
所以圆心到直线的距离,解得,
所以切线方程为,
综上可得切线的方程为,或.
(2)当时,取得最小值,此时,
所以.
18.已知为直线上一
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