新结构：概率统计公开课教案教学设计课件资料.docx

24届2月优质模拟试题汇编（新结构）：概率统计（大题）

★一．解答题常见结论背景

一．二项分布

1．重伯努利试验的概念

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验．

2．重伯努利试验具有如下共同特征

（1）同一个伯努利试验重复做次；

（2）各次试验的结果相互独立．

3．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作

4．一般地，可以证明：如果，那么.

二．超几何分布

超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

2．超几何分布的期望

E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p为N件产品的次品率)．

三．二项分布与超几何分布的区别

1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.

2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.

3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果或，一般考查二项分布.

4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.

5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.

6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.

3．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作

4．一般地，可以证明：如果，那么.

四.二项分布的两类最值

（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题.

.

分析：当时，，随值的增加而增加；当时，

，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.

注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.

（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

分析：

当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.

五．复杂概率计算

（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”.

（2）理解事件中常见词语的含义：

A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；A,B都发生的事件为AB；A,B都不发生的事件为eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；A,B恰有一个发生的事件为Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；A,B至多一个发生的事件为Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).

善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率.

六．条件概率

1.条件概率定义

一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．

可以看到，的计算，亦可理解为在样本空间中，计算的概率.于是就得到计算条件概率的第二种途，即

特别地，当时，即相互独立，则.

2．条件概率的性质

设，全样本空间定义为，则

（1）；

（2）如果与是两个互斥事件，则；

（3）设事件和互为对立事件，则．

七．全概率公式与贝叶斯公式

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有.

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．

2.贝叶斯公式

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，，

有，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．

八．一维随机游走与马尔科夫链

1.转移概率：