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数学物理方法复习资料及参考答案（一）
一、填空题：
1.复数用三角式可表示为（主辐角）。
2.已知幂级数和的收敛半径分别是和，则幂级数的收敛半径为：。
3.勒让德多项式的模。
4.在的邻域上，展开的洛朗级数为：。
5.函数的留数＝。
6.求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为，初始速度为，。
7.在的邻域上，的泰勒级数为：。
8.幂级数的收敛圆：。
9.数理方程中的定解条件包括三大类初始条件、和衔接条件。
10.在本征值问题中，方程
称为______微分方程，该本征值问题的本征值____，相应本征函数是__________，其中________，
该本征函数称为_________，写出它的表达式(至少一种)：________________。
二、简答题：
1、孤立奇点分为几类？如何判别？
2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。
三、基础题：
1、计算实变函数定积分
2、已知解析函数的实部，，求虚部和这个解析函数。
3、设，证明
4、试证递推公式
四、综合题：
1、求解定解问题
2、求解定解问题
3、求解定解问题
参考答案
一、填空题：（每空2分，共30分）
1.2.
3.4.
5.6.
7.8.9.边界条件
10.勒让德、、、、勒让德多项式、
或
二、简答题（每题5分，共10分）
1.可去奇点、极点、本性奇点。
2.=1\*GB3①有无穷多个本征值：
相应地有无穷多个本征函数：
=2\*GB3②所有的本征值都大于或等于零：
=3\*GB3③相应于不同本征值和的本征函数和，在区间上带权重正交，即：
=4\*GB3④本征函数族是完备的。
三、基础题（每题6分，共24分）
1.解：
因为被积函数是偶函数，所以
本题中，
它在上半平面的奇点有两个：一阶极点，二阶极点，……（2分）
……（2分）
所以，……（2分）
2.解：
……（2分）
由条件，得：，
则：
得：，
得：，（为常数）……（2分）
因为：，，故：……（2分）
3.证：
先对原式进行拉普拉斯变换有：
……（3分）
再对上式进行拉普拉斯逆变换有：
命题得证。……（3分）
4.证：
由母函数公式：
对求导，得：……（3分）
两边同乘以，得：
再由母函数公式，得：
比较两边的的系数，得：
整理后，命题得证。……（3分）
四、综合题：（每题12分，共36分）
1.解：
令
由分离变量法解得：
…（6分）
得：…（2分）
代入初始条件有，
比较两边系数可得：
故：…（4分）
2.解：
极坐标系下，拉普拉斯方程的通解为：
…（4分）
考虑圆外自然边界条件：
…（2分）
则可得：…（2分）
由边界条件：
比较两边系数可得：…（2分）
故：…（2分）
3.解：
由于边界条件与无关，故可以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉普拉斯方程通解为：…（4分）
考虑圆心的自然边界条件：
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