第一章--行列式2.ppt

第二节行列式的性质二.性质:性质1:行列式与转置行列式相等三.用性质求行列式方法:1.化为对角(三角)行列式.2.化为两行(列)相等的行列式.例6:第三节行列式的展开计算一.概念:二.按行(列)展开法则:

引理:行列式D中的第i行aij外都为0,则这一行列式等于aij与它的代数余子式之积.注:一般先用性质将某行(列)尽可能多的化为0,再展开.例1：分块上,下三角行列式的计算,它们的值均为例5:计算例6:计算小结:行列式计算方法1.二,三阶行列式一般用对角线法;2.用性质化为上,下三角行列式;3.用性质将某行(列)尽可能多化为0,再展开;4.应用特殊行列式计算:1)范德蒙式,2)对角,上(下)三角行列式,3)分块三角行列式,4)三线行列式.第四节（Gramer）克拉默法则一.（Gramer）克拉默法则二.应用------判方程组解的情况1.定义:2.定理定理1:如果非齐次线性方程组（1）的系数行列式D≠0，则（1）有唯一解。定理2:如果齐次线性方程组有非零解，则D=0.则:线性方程组（1）右端的常数项不全为零时，称为非齐次线性方程组；当全为零时，即（2）称为齐次线性方程组。**一.定义:

转置行列式:将D的行与列互换所得新的行列式.n阶行列式称为D的转置行列式性质2若行列式的某i列（行）的元素都是两数之和，则等于两个行列式之和.注:1.两行列式相加的条件：只有第i列（行）不同，而其余n－1列（行）对应相同。则两个行列式只对第i列（行）相加，其余保持不变。2.若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成个行列式。例：性质3：用数k乘行列式,等于行列式的某一行（列）中的元素都乘以k。如注:第i行（或列）乘以k，记作推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。注:第i行（或列）提出公因子k，记作性质4：互换行列式的两行（列）行列式变号。注:交换i，j两行记作交换i，j两列记作推论：1.如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。2.如果行列式有两行（列）成比，则行列式为零。性质5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。例如以数k乘第j列加到第i列上例1计算例2计算例3计算例4计算例5计算定义：n阶行列式中，划去元素所在的第行和第列的元素，剩余的元素按原次序构成一个n－1阶行列式，称为的余子式，记为。记为的代数余子式。定理:行列式等于任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积的和。即行列式按第行展开行列式按第列展开推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即综合上述定理和推论，合写成下式：当当当当代数余子式的重要性质用以上定理计算三阶行列式解：按第二行展开，则例2：计算例3例4：例4：证明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中记号表示全体同类因子的乘积。证明：（数学归纳法）假设结论对于n－1阶范德蒙德行列式成立，那么对于n阶范德蒙德行列式：n元线性方程组(1)克拉默法则如果n元线性方程组（1）的系数行列式不为零，即那么，方程组（1）有唯一解其中是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即例1：解线性方程组解：