高中数学人教版选修4-5数学教案.doc

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教学札记选修4--5不等式选讲

教学札记

一、课程目标解读

选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、

含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等

式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系

和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学

研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几

何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的

逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、教材内容分析

作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模

块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上

保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：

第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整

性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思

想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出

几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求

理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳

了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类

型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不

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是系统研究。教学札记

第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，

回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。

其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数

学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，

此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实

际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或

加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行

放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专

题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背

景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型

函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等

式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问

题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.2第四题。

排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解

教材中展示的“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，初步

认识排序不等式的有关知识。

第四讲是“数学归纳法证明不等式”．数学归纳法在选修2-2中

也学过，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递

推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。

三、教学目标要求

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1．不等式的基本性质教学札记

掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。

2．含有绝对值的不等式

理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等

式。

3．不等式的证明

通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、

分析法、反证法、放缩法、数学归纳法

4．几个著名的不等式

(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用

二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值。

(2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用。

(3)了解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，

贝努利不等式

5．利用不等式求最大（小）值

会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些

特定函数的最值。

6．数学归纳法与不等式

了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的

不等式。

会用数学归纳法证明贝努利不等式。

四、教学重点难点

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1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、教学札记

绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等

式；柯西不等式及其应用、排序不等式；

2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应

用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不

等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。

五、教学总体建议

1、回顾并重视学生已学知识

学习本专题，学生已掌握的知识有：

第一、初中课标要求的不等