第六章　第四节　平面向量的应用.docx

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第四节平面向量的应用

【核心考点·分类突破】

考点一平面向量在几何中的应用

[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+2PB+2PC=0,AB=4,PB=PC=3,则△ABC的面积等于()

A.43 B.83 C.42 D.82

【解析】选D.因为PB=PC=3,所以P位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,

由AB+2PB+2PC=0得,AB=-2(PB+PC)=-4PD=4DP,

所以AB⊥BC,DP=1,如图所示,

所以BC=2BD=232-12=42,所以S△ABC=12BC·AB=1

(2)在△ABC中,AC=9,∠A=60°,D点满足CD=2DB,AD=37,则BC的长为()

A.37 B.36 C.33 D.6

【解析】选A.因为CD=2DB,

所以AD=AB+BD

=AB+1

=AB+13(AC-AB

=23AB+

设AB=x,则AD2=(23AB+1

得37=49x2+49×x×9cos60°+19

即2x2+9x-126=0,

因为x0,故解得x=6,即AB=6,

所以|BC|=|AC-AB|

=|

=62+9

(3)在△ABC中,已知(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0,且AB|AB|·

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.三边均不相等的三角形

【解析】选A.AB|AB|,AC|AC

AB|AB|+AC|

因为(AB|AB|+AC|AC|)·

又AB|AB|·AC|AC|=12,所以cosAB,AC

则AB与AC的夹角为60°,即∠BAC=60°,

可得△ABC是等边三角形.

解题技法

用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.

对点训练

1.P为△ABC内一点,满足PA+PB+2PC=0,则△PAB和△ABC的面积比为.?

【解析】如图,取AB的中点D,连接PA,PB,PC,PD,

则PA+PB=2PD,又由题意PA+PB+2PC=0,所以2PD+2PC=0,

故C,D,P三点共线,且满足CP=12CD,所以P为

从而S△PAB∶S△ABC=1∶2.

答案:1∶2

2.如图,在△ABC中,cos∠BAC=14,点D在线段BC上,且BD=3DC,AD=152,则△ABC的面积的最大值为

【解析】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为BD=3DC,所以AD=14AB+

又AD=152,cos∠BAC=1

所以AD2=(14AB+34AC)2=116c2+916b2+38bccos∠BAC=116c

又154=116c2+916b2+332bc=(14c)2+(34b)2+332bc≥2×14c×3

当且仅当c=3b时,等号成立.

所以bc≤8,又sin∠BAC=154

所以S△ABC=12bcsin∠BAC≤12×8×154

答案:15

考点二平面向量的实际应用

[例2](1)渭河某处南北两岸平行,如图所示,某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中航行速度的大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=

6km/h.设v1与v2的夹角为120°,北岸的点A在码头A的正北方向,那么该游船航行到北岸的位置应()

A.在A东侧 B.在A西侧

C.恰好与A重合 D.无法确定

【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意可得v1=(-5,53),v2=(6,0),

所以v1+v2=(1,53),

说明游船有x轴正方向的速度,即向东的速度,所以该游船航行到北岸的位置应在A东侧.

(2)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知F1=1N,F

2N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为()

A.1N B.3N C.7N D.3N

【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,

两边同时平方得F12+2F1·F3+F3

即F12+2F1F3

即12+2×1×2×12+22=7=F

解得F2=7N

(3)(2023·温州模拟)物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于()

A.25 B.5 C.-5 D.-25

【解析】选A.因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F