第六章　第三节　平面向量的数量积.docx

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第三节平面向量的数量积

【课标解读】

【课程标准】

1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.

2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.

5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.

【核心素养】

数学抽象、直观想象、数学运算.

【命题说明】

考向

考法

平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题,如证明垂直、求夹角、模等是每年必考的内容,单独命题时,一般以选择题、填空题形式出现.交汇命题时,向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.

预测

平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填空题的形式出现.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.向量的夹角

定义

已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做a与b的夹角

范围

设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0≤θ≤π

共线与垂直

θ=0或θ=π?a∥b,θ=π2?a⊥

微点拨确定两个非零向量a和b的夹角,必须将两个向量平移至同一起点.

2.平面向量的数量积

条件

两个非零向量a与b的夹角为θ

结论

数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)

记法

记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ

规定

零向量与任一向量的数量积为0

3.投影向量

条

件

设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,AB=a,CD=b

作

图

过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A

结

论

我们称上述变换为向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos

4.向量数量积的运算律

交换律

a·b=b·a

分配律

(a+b)·c=a·c+b·c

数乘结合律

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

微点拨(1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;

(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).

5.平面向量数量积的坐标运算

已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.

结论

符号表示

坐标表示

模

|a|=a

|a|=x

夹角

cosθ=a

cosθ=x

a⊥b的

充要条件

a·b=0

x1x2+y1y2=0

|a·b|与

|a||b|的

关系

|a·b|≤|a||b|

|x1x2+y1y2|≤

x

常用结论

1.两个向量a,b的夹角为锐角?a·b0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角?a·b0且a,b不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;

(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;

(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.

3.向量a在b上的投影向量为a·bb·bb,向量a在

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

高考

题号

1

2

4

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两个向量的夹角的范围是0,π2.(

提示:(1)两个向量夹角的范围是[0,π].

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(√)

(3)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(×)

提示:(3)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cosa,b=|a||c|·cosa,c,所以向量b和c不一定相等.

(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cosθ)b|b|.(

2.(必修第二册P36练习T1·变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且2a+b=3,则t

A.2 B.3 C.±2 D.±2

【解析】选C.由向量a=(-1,t-1),b=(3,2),可得2a+b=(1,2t),因为2a

可得12+(2t)2=3,解得

3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),则a·b=.?

【解析】因为向量a=(-2,3),b=(1,2),

所以a·b=-2×1+3×2=4.

答案:4

4.(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则AB·BC=.?

【解析】在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,

则AB·BC=|AB||BC|cos(180°-60°)=6×5×(-12)=-15

答案:-15

【核心考点·分类突破】