第19讲 利用导数研究函数的零点（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docxVIP

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第19讲利用导数研究函数的零点

基础知识

两类零点问题的不同处理方法:利用函数零点存在定理的条件为函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0.①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)0即可;②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)0.

提示一:已知函数有零点求参数范围常用的方法,(1)分离参数法,一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从f(x)中分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分类讨论法,一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.

提示二:可化为函数零点的函数问题(与函数零点性质研究)包括两个方向,一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法);二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).能够利用等价转换、构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等价转换,将已知转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问题的目的.

分类训练

探究点一判断、证明或讨论函数零点的个数

例1已知函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2lnx(a∈

(1)若a=0,求f(x)的最大值;

(2)当a≥0时,讨论函数f(x)零点的个数.

例1[思路点拨](1)当a=0时,f(x)=-2x+2lnx(x0),利用导数法求最大值;(2)函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2lnx(a∈R),f(x)=(x-1)(ax-2)x(x0),分

解:(1)当a=0时,f(x)=-2x+2lnx(x0),

f(x)=2(

令f(x)0,得0x1,令f(x)0,得x1,

所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

所以f(x)max=f(1)=-2+2ln1=-2.

(2)函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2lnx(a∈R),f(x)=(

当a=0时,由(1)可得函数f(x)0,没有零点.

当2a1,即0a2时,令f(x)=(x-1)(ax-2)x0,得0x1或x

即函数f(x)的单调递增区间为(0,1),2a,+∞,单调递减区间为1,2a,

而f(1)=-12

所以当x∈(0,1)时,f(x)f(1)0;当x∈1,2a时,f(x)f(1)0,且f2af(1)0;

当x∈2a,+∞时,f(x)∈f2a,+∞.

所以函数f(x)在区间0,2a上没有零点,在区间2a,+∞上有一个零点.

当2a=1,即a=2时,f(x)=2(x-

即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,

而f(1)=-30,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上有一个零点.

当02a1,即a2时,令f(x)=(x-1)(ax

令f(x)=(x-1)(

即函数f(x)的单调递增区间为0,2a,(1,+∞);单调递减区间为2a,1.

因为a2,所以f2a=-2a-2+2ln2a-2

所以当x∈0,2a时,f(x)f2a0;

当x∈2a,1时,f(x)f2a0,

且f(1)f2a0;

当x∈(1,+∞)时,f(x)∈(f(1),+∞).

所以函数f(x)在区间(0,1)上没有零点,在区间(1,+∞)上有一个零点.

综上,当a=0时,f(x)没有零点;当a0时,f(x)有一个零点.

[总结反思]根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法:一种是利用单调性与零点存在定理求解,另一种是化原函数为两个函数,利用两个函数图象的交点来求解.

变式题已知函数f(x)=ex-kx-m(k,m为实数).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)当k=2,m=1时,判断函数f(x)零点的个数.

变式题解:(1)f(x)=ex-k(x∈R),

①当k≤0时,f(x)0恒成立,f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间;

②当k0时,由f(x)0得xlnk,由f(x)0得xlnk,

故f(x)的单调递减区间为(-∞,lnk),单调递增区间为(lnk,+∞).

(2)当k=2,m=1时,f(x)=ex-2x-1,

由(1)知f(x)在(-∞,ln2)上单调递减,而f(0)=0,

故f(x)在(-∞,ln2)上有且仅有1个