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第8章MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h插值与拟合MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\hMACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h

在工程和科学实验中，变量之间往往存在着固有的函数关系，但这种关系经常很难有明显的解析表达式，通常只能由观察与测试得到一些离散数值。即使有时能给出解析表达式，却因结构过于复杂，不仅不便于使用而且不易于进行计算与理论分析。解决这类问题的方法通常是寻求固有函数的近似逼近，而近似函数的产生办法则因观测数据与背景要求的不同而不同，最常用的两种方法是数据插值与数据拟合。

8.1插值方法

8.1.1一般多项式插值

1.多项式插值的一般提法

对于未知函数，已知它在区间上个观测点，要求一个至多次多项式，使其在给定点处与有相同的值，即满足条件：

，

称为插值多项式，称为插值节点，简称节点，称为插值区间，GOTOBUTTONZEqnNum197884REFZEqnNum197884\*Charformat\!(8.1)式称为插值条件。

从几何上看，次多项式插值就是过个点，作一条多项式曲线近似代替未知函数曲线。

2.Lagrange插值公式

（1）一阶Lagrange插值

设已知及，，为不超过一次多项式且满足插值条件，。在几何上为过点和的直线，从而得到

.

为了便于推广到高阶情形，将式GOTOBUTTONZEqnNum370833REFZEqnNum370833\*Charformat\!(8.2)变形为对称形式：

.

（2）二阶Lagrange插值

设已知及，，，为不超过二次的多项式，且满足，和。经计算得到其二阶Lagrange插值多项式，又称为抛物线插值多项式：

.

（3）阶Lagrange插值

按和的求解方法，进行推广可以得到阶Lagrange插值的公式：

.

3.Newton插值

在导出Newton插值公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商概念。

（1）函数的差商

设有函数及一系列相异的节点，则称为函数关于节点的一阶差商，记为，即

.

称一阶差商的差商

为关于点的二阶差商，记为。一般地，称

为关于点的阶差商，记为

.

（2）Newton插值公式

由于关于两节点的线性插值多项式为

，

可将其表示成，称为一次Newton插值多项式。

一般地，由各阶差商的定义，依次可得

，

，

，

，

将以上各式分别乘以，，，，，然后相加并消去两边相等的部分，即得

记

，

，

显然，是至多次的多项式，且满足插值条件，因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。称为Newton插值余项。

Newton插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即

，

因而便于递推运算。而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。

8.1.2分段线性插值

1.插值多项式的振荡

用Lagrange插值多项式近似，虽然随着节点个数的增加，的次数变大，多数情况下误差会变小。但是增大时，的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。理论上，当，在内并不能保证处处收敛于。Runge给出了一个有名的例子：

，

对于较大的，随着的增大，振荡越来越大，事实上可以证明，仅当时，才有，而在此区间外，是发散的。

由于高次插值多项式的这些缺陷，也说明并不是插值次数越高效果越好，这就促使人们转而寻求简单的低次多项式插值方法，分段线性插值方法就是一种有效的方法。

2.分段线性插值

对于未知函数，已知它在区间上个观测点，这里，要寻求一