湖南省郴州市宜章县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题.docx

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湖南省郴州市宜章县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合，集合，则集合（????）

A． B． C． D．

2．已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设，且，则（????）

A． B． C． D．

5．已知函数，则等于（????）

A． B． C． D．

6．均为正实数，且，，，则的大小顺序为

A． B． C． D．

7．在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（????）

??

A．

B．当时，

C．若，，则

D．平行六面体的体积

二、多选题

9．在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（????）

A．事件A与事件B是相互独立事件 B．事件A与事件C是互斥事件

C． D．

10．已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（????）.

A．

B．直线是函数的图象的一条对称轴

C．函数在上为增函数

D．函数在上有四个零点

11．已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（????）

A．已知，，则

B．已知，，则

C．已知，，，则三棱锥的体积

D．已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值

三、填空题

12．函数的零点个数为.

13．二维码是一种利用黑?白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为.

14．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体?正六面体?正八面体?正十二面体?正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是.

四、解答题

15．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六组，绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？

(2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数．

16．一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数表示为个正整数的和，叫做正整数的拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数的无序拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}．

（1）写出9的所有无序2拆分；

（2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率.

17．如图，在中，，，.

(1)求的值；

(2)设，分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求的最小值.

18．在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．

(1)点到平面的距离；

(2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

(3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．

19．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值.

(1)已知，.

①写出，写出（用含的式子表示）；

②当，写出的最小值及此时x的值；

(2)设，，求证：

(3)在空间直角坐标系O?xyz中，