第四章 §4.4　4.4.2　对数函数的图象和性质(一).docx

4.4.2对数函数的图象和性质(一)

[学习目标]1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用．

一、对数函数的图象和性质

问题1请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和的函数图象．

x

…

0.25

0.5

1

2

4

8

16

32

…

y＝log2x

…

…

…

…

问题2通过观察函数y＝log2x和的图象，你能类比指数函数的性质说出对数函数的性质吗？

问题3为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a＝3,4，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？

知识梳理

对数函数的图象和性质

y＝logax(a0，且a≠1)

底数

a1

0a1

图象

定义域

值域

R

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

最值

奇偶性

共点性

图象过定点______，即x＝1时，y＝0

函数

值特点

当x∈(0,1)时，y∈________；

当x∈[1，＋∞)时，y∈________

当x∈(0,1)时，y∈________；

当x∈[1，＋∞)时，y∈________

对称性

函数y＝logax与的图象关于________对称

例1(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()

A．0ab1

B．0ba1

C．ab1

D．ba1

(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.

(3)已知f(x)＝loga|x|(a0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

延伸探究在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象．

反思感悟(1)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象恒过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标．

(2)对数型函数图象的变换方法

①作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x0)的图象不变，x0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x0)的图象关于y轴对称．

②作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．

③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．

④y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．

跟踪训练1(1)若a0，且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点______．

(2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．

二、利用单调性比较对数值的大小

例2比较下列各组中两个值的大小：

(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；

(3)logaπ，loga3.14(a0，且a≠1)；

(4)log50.4，log60.4.

反思感悟比较对数值大小时常用的四种方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性．

(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．

(3)底数和真数都不同，找中间量．

(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．

跟踪训练2比较大小：

(1)loga5.1，loga5.9(a0，且a≠1)；

(2)log3π，log2eq\r(3)，log3eq\r(2).

三、利用单调性解对数不等式

例3解下列关于x的不等式：

(1)；

(2)loga(2x－5)loga(x－1)；

(3)logxeq\f(1,2)1.

反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法

(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况进行讨论．

(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．

(3)形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．

跟踪训练3(1)求满足不等式log3x1的x的取值集合；

(2)已知log0.7(2x)log0.7(x－1)，求x的取值范围．

1．知识清单：

(1)对数函数的图象及性质．

(2)利用对数函数的图象及性质比较大小．

(3)利用单调性解对数不等式．

2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．

3．常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a1与0a1两种情况．

1．函数y＝loga(x－1