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初中数学竞赛：抽屉原理

把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉

原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：

第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至

少有（m＋1）个物体。

使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数

的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。

例1从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51

个数中，一定：

（1）有2个数互质；

（2）有2个数的差为50；

（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。

证明：（1）将100个数分成50组：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相

邻的整数，它们一定是互质的。

（2）将100个数分成50组：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。

（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：

第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；

第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；

第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；

第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；

第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。

第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，

根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约

数大于1。

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例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然

数，它是499的倍数就可以了。

得到500个余数r1，r2，…，r500。由于余数只能取0，1，2，…，499这

499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499

的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互

质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一

个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

例3在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相

识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相

识是互相的）。

分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必

然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中

所说的结论即可。

解：将礼堂中的99人记为a1，a2，…，a99，将99人分为3组：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），

将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定