高中总复习二轮数学精品课件 专题一 函数与导数 第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 (2).ppt

第3讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值专题一

内容索引0102必备知识?精要梳理关键能力?学案突破

必备知识?精要梳理

1.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.

2.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)内单调递增,但f(x)≥0.②f(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数.(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.

(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转化为在区间D上f(x)≤0恒成立(注意:f(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立).注意带“=”(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f(x)0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f(x)0在区间D上有解.注意不带“=”

3.利用导数研究函数的极值、最值(1)若f(x0)=0,且在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f(x0)=0,且在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则这个极值就是相应的最值.这个条件不可少易错提醒若函数的导数存在,则在某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时,要对参数值进行检验.

关键能力?学案突破

突破点一导数的几何意义

答案D

[例1-2](2021·全国甲,理13)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为.?答案5x-y+2=0

方法总结利用导数的几何意义解决切线问题的方法(1)已知切点(x0,y0),则曲线y=f(x)的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).(2)已知曲线y=f(x)的切线斜率k,求切点坐标(x0,y0)时,可根据f(x0)=k解方程得到x0,进而得y0.(3)求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线方程时,应设出切点(x0,y0),则切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0),再将点(x1,y1)的坐标代入切线方程,求出x0即得切线方程.(4)解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有

对点练1(1)已知函数f(x)=lnx+图象的一条切线方程为y=kx+b,则k+b的最小值为()A.-1 B.0 C.1 D.2(2)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线l:x-y-2=0平行,则点P的坐标为.?(3)若曲线C1:y=ax2(a0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则实数a的取值范围为.?

当m1时,g(m)0,g(m)单调递增;当0m1时,g(m)0,g(m)单调递减.当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不符合题意;当x0=-1时,点P(-1,1),则所求切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与直线l平行.综上所述,点P的坐标为(-1,1).

(3)由y=ax2(a0),得y=2ax.由y=ex,得y=ex.曲线C1:y=ax2(a0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,设公切线与曲线C1切于

突破点二利用导数研究函数的单调性命题角度1求单调区间或判断单调性[例2-1]函数f(x)=2(x2-x)lnx-x2+2x的单调递增区间为()

答案D

易错警示利用导数求函数的单调区间,其实质是解不等式问题,应注意以下几点(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制容易导致错误.(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能