辽宁省IC联盟高二下学期6月阶段性质量检测数学试卷.docVIP

辽宁省IC联盟高二下学期6月阶段性质量检测数学试卷

一、单选题

(★★)1.函数在上的图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★★)2.设，，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)3.平面内相距的A，B两点各放置一个传感器，物体在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线所示.已知曲线经过点，，，曲线经过点，且若的运动轨迹与线段相交，则的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及分别为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.若函数上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则的最小值是（）

A．2

B．

C．

D．

(★★★★★)5.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)6.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，则最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)7.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记．下列命题中正确的是（）

A．已知，且，则

B．已知，若，则对任意，都有

C．已知则存在实数a，使得

D．已知，则对任意的实数a，总存在实数b，使得

(★★★★★)8.已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★★)9.信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵，则下列判断中正确的是（）

①若，则

②若，则；

③若，则当时，取得最大值

④若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且，则

A．①②

B．②③

C．①②④

D．①②③④

(★★★★★)10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★★★)11.已知曲线：，抛物线：，P为曲线上一动点，Q为抛物线上一动点，已知与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的是（）

A．直线：是曲线和的公切线

B．曲线和的公切线有且仅有一条

C．最小值为

D．当轴时，PQ最小值为

三、填空题

(★★★)12.定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值集合为________

(★★★★★)13.已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则______.

(★★★★)14.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，若存在等差数列，使得为等比数列，且，则实数的最小值为_________

四、解答题

(★★★★★)15.已知函数，.

(1)求证：

(2)若对任意且恒成立，求实数的取值范围

(★★★★)16.已知函数.

(1)求的极值；

(2)若，证明：.

(★★★★★)17.已知函数，.

(1)证明：；

(2)若是的极大值点，求实数的取值范围.

(★★★★)18.已知函数.

(1)若直线与函数的图像相切，求满足条件的实数的取值集合；

(2)某学习小组通过研究发现函数的图像与直线有且只有一个公共点

（Ⅰ）设该公共点的横坐标为，证明该发现，并证明；

（Ⅱ）设且求的最大值.

(★★★★★)19.已知函数其中.

(1)若证明：当时，

(2)若，求证：有唯一极值点，且；

(3)若，函数有三个极值点证明：.