信息技术助力创新思维能力培养.docx

?

?

信息技术助力创新思维能力培养

?

?

王伯龙

摘?要：函数与导数考题本质上是考查利用导数研究函数图象的特征，建立数与形的联系.因此借助函数图象的直观性，对于进一步分析探索出解决函数问题的策略，寻求到解决函数问题的思路方法，将起着决定性的作用.而借助GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，正是一种破解之道.

关键词：信息技术;函数图象;GeoGebra平台

函数是贯穿于高中数学教学的一条主线，也是高考数学命题的主干知识.纵观近年来的高考试题，不论是在主观试题还是客观试题的命制上，函数内容都占有相当的权重，常常作为压轴题.考查的内容丰富多样，覆盖了函数的极值、最值、单调性、零点、参数的取值范围等相关知识点.渗透了函数与方程、转化与划归、数形结合等思想方法，提升了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，培养学生的创新思维能力.大多试题本质上是考查利用导数研究函数图象的特征，建立数与形的联系.因此若能借助函数图象的直观性，对于进一步分析探索出解决函数问题的策略，寻求到解决函数问题的思路方法，将起着决定性的作用.现撷取2019年高考函数精彩试题几例，借助于GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，寻求其破解之道.

1?技术支持、探索思路、寻求突破

例1?（2019年浙江卷第9题）设a，b∈R，函数f（x）=x，x

A.a-1，b0???B.a-1，b0

C.a-1，b-1，b0

分析?本题考查含参数的零点问题，所给的函数是分段函数，题干中含有两个参数a，b，且多项式的次数是3次，入手比较困难，我们可以借助于GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，画出函数的图象，通过改变参数a，b的值，让图象动态变化，寻求解题的突破口.

在GeoGebra界面上绘制出函数y=（1-a）x-b，x

解析?由g′（x）=x2-（a+1）x=x[x-（a+1）]=0，得x=0或x=a+1.

由以上分析知，若函数y=13x3-12（a+1）x2-b在[0，+∞）上恰有两个零点，且y=（1-a）x-b在（-∞，0）上有一个零点，则有

-b0，g（a+1）=-16（a+1）3-b0.

解得-1

评析?GeoGebra技术支持图象动态变化，探索出参数a，b的本质属性，借助于图象获得解题的突破口.思路简洁，容易理解.

例2?（2019年全国Ⅲ卷理12）设函数f（x）=sin（ωx+π5）（ω0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）上有且仅有3个极大值点;②f（x）在（0，2π）上有且仅有5个极小值点;③f（x）在（0，π10）上单调递增;④ω的取值范围是[125，2910].其中所有正确结论的编号是（?）.

A.①④??B.②③??C.①②③??D.①③④

分析?本题考查含参数的三角函数的相关知识，试题涉及到函数的零点、极值点、单调性、参数的取值范围等，设计新颖独特，具有一定的区分度和选拔功能.学生只有对四个结论逐一检验，才能得出正确的选项.试题对学生考查的标准比较高，对考生来说，是有一定难度的.我们可以借助于GeoGebra平台的绘图功能和动态演示功能，画出函数的图象，通过改变参数ω的值，让图象动态变化，寻求解题的突破口.

在GeoGebra界面上繪制出函数f（x）=sin（ωx+π5）（ω0）的图象，如图2所示，滑动滑杆ω，在拉伸或压缩图象的过程中，满足条件f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点的关键是x轴正方向上的第五个零点的坐标x5≤2π，且第六个零点的坐标x62π.这就是解决问题的突破口.

解析?设xi（i=1，2，3，4，5，6）表示x轴正方向上函数f（x）的第i个零点.由ωx1+π5=π，得x1=4π5ω.因为T=2πω，所以x5=4π5ω+4·T2=24π5ω，x6=4π5ω+5·T2=29π5ω.由于f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，因而x5≤2π，x62π，解得125≤ω2910.所以④正确.

设yi（i=1，2，3，…）表示x轴正方向上函数f（x）的第i个极大值点.由ωy1+π5=π2，得y1=3π10ω.yi=y1+（i-1）T=3π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω2910，易检验得y32π，y42π.所以①正确.

设zi（i=1，2，3，…）表示x轴正方向上函数f（x）的第i个极小值点.由ωz1+π5=3π2，得z=13π10ω.zi=z1+（i-1）T=13π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω2910，易解得53π29z3≤53π24.若53π2z3p

因为函数f（x）在（0，4π5ω）上单调递增，由125≤ω2910，得8π294π5ω≤π3，因而π104π5ω.所以（0，π10）（