含参变量的积分课件.pptVIP

第十二章第三节含参变量的积分一、含参变量的有限积分二、含参变量的无穷积分

一、含参变量的有限积分上的连续函数,上的函数,则积分记作确定了一个定义在u称为参变量,上式称为含参变量的有限积分.连续性,可积性,可微性:含参变量积分的性质—定理1.(连续性)也.在区上连续,则函数

证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有有这说明

定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,上连续,则含参变量的积分

定理2.(可积性)上连续,定理2表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同变数的积分(简称累次积分)可交换积分次序.推论:在闭矩形域上连续函数f(x,y),其累次积分可交换求积顺序,即

定理3.(可微性)都在矩形证:令函数,

有因上式左边的变上限积分可导,右边定理3说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,导数与积分运算是可以交换次序的.

一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参量外,分上、下限也含有参量，即但唯一一个分（）它仍是区的函数，.下面出函数在区的可微性.

定理4.都在矩形域而函数与在区可，，有在区数可，且

例1.求函数的数(y0).，使解：，固定，然，被函数在矩形域与都，根据定理2，有

例2.解:由被积函数的特点想到积分:

例3.解:考虑含参变量t的积分所确定的函数显然,由于

故因此得

例4.解:

例5.分小时,函数的n阶导数存在,且证:令在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得

即同理于是

二.含参变量的无穷积分1.含参变量的无穷积分的定义二元函数f(x,u)在区域有定。无都收，即都唯一一个无分（）的函数，表于是，是区.称含参量的无分，有也称无分，u是参量.

2.含参变量无穷积分一致收敛的定义，无收.若有称无在区I一致收。

例6.明：无一致收敛.在区[a,b](a0)无穷积分(u看作常数)证明:设A0,已知a≤u≤b,有使不等式取成立，解得于是，有即无在区[a,b](a0)一致收.

3.含参变量无穷积分一致收敛的判别法定理5(柯西一致收敛准则）在区I一致收敛,有有定理6(优函数判别法)若,且无在区I一致收.收，无

例7.明:无一致收(a0).在区证明：有因为无穷积分所以无穷积分收敛,收敛，从而无穷积分根据定理6,则无穷积分也收敛,在区一致收(a0).

例8.证明无穷积分明：，有在R一致收.而无穷积分收敛,在R一致收..虽然用定理6判别某些无穷积分一致收敛很简便,但此定理的应用局限在无穷积分必是绝对收敛,说明:若无穷积分是一致收敛,同时又是条件收敛,则不能用定理6来判别.

定理7.若函数f(x,u)在区连续且在D有界,即,有无穷积分，在区I一致收.

4.含参变量无穷积分的性质定理8(连续性)★注意:即:

定理9(可积性)即(积分次序可交换)

定理10(可微性)即注意:可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即

例9.明：证明:已知有而无收.根据定理6，无一致收，根据定理9，交换积分次序，有在区