可测函数的定义及性质(精)课件.pptVIP

第四章可测函数第一节可测函数的定义及性质主讲：胡努春

新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mE表示E的“长度”ii问题：怎样的函数可使E都有“长度”(测度)?i

1可测函数定义定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若可测，则称f(x)是E上的可测函数例(1)零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集

可测函数(2)简单函数是可测函数若可测且两两不交），f(x)在(Ei每个E上取常值c，则称f(x)是E上的简单函数；ii注：Dirichlet函数是简单函数01

（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在处连续对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，()()()f(x)在处连续(对闭区间端点则用左或右连续)

可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数证明：任取x∈E[fa],则f(x)a,由连续性假设知，f(x)+ε0f(x0)f(x)-ε0a则G为开集，当然为可测集，且()０

⑷R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。证明：不妨设f单调增，对任意a∈R由f单调增知下面的集合为可测集aIxxa12

⒊可测函数的等价描述⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及

对前面等式的说明([a-1/na([aa+1/n

⒋可测函数的性质⑴可测函数关于子集、并集的性质l即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E上也是可测函数；1l反之，若,f(x)限制在E上是可测函数，n则f(x)在E上也是可测函数。

注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测若m(E)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,[f≠g]记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almosteverywhere）证明：令E=E，E=E，则mE=01[f≠g]2[f=g]1从而g(x)在E上可测，1另外f(x)在E上可测，从而g(x)在E上也可测，22进一步g(x)在E=E∪E上也可测。12注：用到了可测函数关于子集、并集的性质

⑵可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。a-g(x)rf(x)

a-g(x)rf(x)证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则为可测集。

若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)g(x)仍为E上的可测函数。证明：首先f(x)在E上可测，因为对任意a∈R2再利用f(x)g(x)={(f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))}/4即可2作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数

⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。若f(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。n推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。

对上式的说明：([a-1/na下确界：

例：R1上的可微函数f(x)的导函数f`(x)是可测函数gn(x)证明：由于从而f`(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f`(x)是可测函数.利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.

例设{f}是可测函数列，则它的收敛点全体和发n散点全体是可测集.证明：发散点全体为收敛点全体为再注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.

⒌可测函数与简单函数的关系MMmmMmn0可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限

可测函数与简单函数的关系l若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛

例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，E[fga]={x|f(g(x))a}可测即可,{x|f(g(x))a}=(fg)-1((a,+∞))=g-1(f-1((a,+∞)))f-1((a,+∞))=g可测f连续

例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，m(E[fg