第七章　第五节　数列求和.docx

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第五节数列求和

【核心考点·分类突破】

考点一分组求和与并项求和

1.数列112,314,518,7116,…,(2n-1)+12n的前n

A.n2+1-12n B.2n2-n

C.n2+1-12n-1 D.n2

【解析】选A.Sn=[1+3+…+(2n-1)]+(12+14+…+12n)=(1+2n-1

2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+an+1+an+2=cosnπ3,a1=1,则S2023=(

A.0 B.12 C.1 D.

【解析】选C.S2023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2021+a2022+a2023)=1+cos2π3+cos5π3+…+cos2018π3+cos2

3.已知函数f(n)=n2,当n为奇数时,-n2,当n为偶数时,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a

A.0 B.100

C.-100 D.10200

【解析】选B.由题意,得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002

-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.

4.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则a1+a2+…+a10等于.?

【解析】记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,

所以a1+a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.

答案:15

5.数列1,12,2,14,4,18,…的前2n项和S

【解析】S2n=(1+2+4+…+2n-1)+(12+14+18+…+12n)=2

答案:2n-1

6.(2024·徐州模拟)下面的数组均由三个数组成,分别是:(1,2,-1),(2,4,-2),(3,8,-5),

(4,16,-12),(5,32,-27),…,(an,bn,cn),若数列{cn}的前n项和为Sn,则S10=.?

【解析】(分组求和法)易知{an}是首项为1,公差为1的等差数列,{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,且cn=an-bn,

所以S10=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(a10-b10)=(a1+a2+…+a10)-(b1+b2+…+b10)

=10×1+10×9×12-2(

答案:-1991

解题技法

1.分组转化法求和的常见类型主要有:分段型(如①an=n,n为奇数,2n,n为偶数;②an=2n+3n

2.并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两或几个相结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.

考点二裂项相消法求和

模型一bn=1anan

[例1](1)数列{an}中,an=1n(n+1),则数列{an}的前2024项和

【解析】由题意得,an=1n(n+1)

故S2024=(1-12)+(12-13)+…+(12024-

答案:2

(2)求和

①Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+

【解析】①因为an=2n(n+1)

所以Sn=a1+a2+…+an=2[1-12)+(12-13)+…+(1n

②Sn=11×3+12×4+…+1n

【解析】②因为an=1n(n+2)

所以Sn=12(1-13+12-14+…+

=12(1+12-1n+1-1n

③Sn=11×3+13×5+…+1(

【解析】③因为an=1(2n-1

所以Sn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12

答案:①2nn+1②

③n

解题技法

形如bn=1a

(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.

(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原项相等,如:若{an}是等差数列,则1anan+1=1d(1an

对点训练

已知数列{an}为公差大于0的等差数列,a2·a3=15,且a1,a4,a25成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d0).

由题意得(a1

所以an=1+2(n-1)=2n-1.

所以数列{an}的通项公式是an=2n-1.

(2)设bn=1an·an+1,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm

【解析】(2