第六章　第五节　第3课时　高考中的解三角形问题.docx

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第3课时高考中的解三角形问题

【核心考点·分类突破】

考点一高考解三角形中“爪”型结构(规范答题)

考情提示

“爪”型三角形是指在给定的一个三角形中,连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形.“爪”型结构的解三角形问题在高考中屡见不鲜,如中线、角平分线、高线等.

角度1解三角形中有关高线问题

[例1](10分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA;

(2)设AB=5,求AB边上的高.

审题导思破题点·形成思路

(1)

思路:根据题意画出图形,利用正弦的和角和差角公式就能比较顺利地解答

(2)

思路:给出三角形边AB的长,而由第(1)问可以确定三角形的三个内角,利用正弦定理便可求出另一条边AC或BC的长,从而求得AB边上的高

规范答题敲重点·水到渠成

【解析】(1)在△ABC中,A+B=π-C,

因为A+B=3C,所以3C=π-C,

解得C=π4.……

因为2sin(A-C)=sinB,

所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),

关键点观察已知2sin(A-C)=sinB的结构,结合三角形内角和定理A+B+C=π,将sinB转化为sin(A+C).

所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

所以sinA=3cosA,……3分?

即tanA=3,所以0Aπ2

所以sinA=310=31010

巧变多变由C=π4及2sin(A-C)=sinB

①2sin(A-π4)=sin3π4-

只要两两结合,通过对两等式展开、化简,解得tanA=3.

②2sin(A-π4)=cosπ4-

得到tan(A-π4)=12=

解得tanA=3.

③2sin(A-C)=2sinπ2-B=2cosB

得到tanB=2,从而sinB=255,cosB=

所以sinA=3π4-B

(2)解法一:(三角恒等变换+正弦定理)

由(1)知sinA=31010,tanA=30,所以A为锐角,所以cosA=1010

避误区此处要对A的范围进行分析,若写成cosA=±1010,会造成不必要的失分

所以sinB=sin3π4-A=22(cosA+sinA)=22×(1010+

由正弦定理ABsinC=

得AC=AB·sinBsinC=5×

作CD⊥AB,垂足为D,

由12AB·CD=12AB·AC·sinA,

得CD=AC·sinA=210×31010=6.

破题有招等面积法是解三角形问题中的常用方法,本题利用等面积法求出AB边上的高.等面积法是建立方程的有效手段.

解法二:(正弦定理+余弦定理)

由正弦定理BCsinA=

得BC=ABsinC·sinA=522×310

由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,

得52=AC2+(35)2-2AC·35cosπ4

整理得AC2-310AC+20=0,

解得AC=10或AC=210,……7分

由(1)得,tanA=33,所以π3Aπ

又A+B=3π4,所以Bπ4,即CB,所以ABAC,所以AC=210,

避误区利用余弦定理,得出关于AC的一元二次方程,有两个解,此时要根据三角形的性质及有解的条件进行取舍.

设AB边上的高为h,则12×AB×h=12×AC×BCsin

即5h=210×35×22,……

解得h=6,

所以AB边上的高为6.……10分

解法三:(利用三角形的几何特征)

作CD⊥AB,垂足为D,

tanB=-tan(A+∠ACB)=-tanA+tan∠ACB1-tan

又AB=AD+BD=CDtanA+CDtanB=CD3+CD2=

所以AB边上的高为6.……10分

换思路利用三角形的几何性质,由方程思想求出AB边上的高.此种方法需要较强的观察能力和较深的数学功底,这就要求学生在平时学习中多积累、多总结.

解题技法

该类型题目侧重直角三角形中互余两角的三角函数关系及两角和、差的三角公式的应用.

对点训练

在△ABC中,已知B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=

【解析】解法一:

因为B=π4,BC边上的高等于13

所以AB=13BCsin45°

AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos45°=59BC2

所以cosA=AB2+

解法二:

设△ABC中角A,B,C对应的边分别为