第二章 §2.1　第1课时　不等关系与不等式.docxVIP

第1课时不等关系与不等式

[学习目标]1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小．

一、用不等式(组)表示不等关系

问题1生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志，你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？

问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

(1)某社会团体要求，男性成员人数m应不多于50，女性成员人数n不少于10；

(2)某款ChatGPT(聊天机器人)在人机交互中的识别精确度不低于90%；

(3)若小明的身高为x，小华的身高为y，小明比小华矮；

(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

(5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图)．

知识梳理

常见的文字语言与符号语言之间的转换

文字语言

大于，高于，超过

小于，低于，少于

大于等于，至少，不低于

小于等于，至多，不超过

符号语言

例1京沪线上，复兴号列车的速度为350km/h，该速度的2倍再加上100km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系．

反思感悟用不等式(组)表示不等关系的步骤

(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．

(2)适当地设未知数表示变量．

(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．

注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．

跟踪训练1用不等式或不等式组表示下面的不等关系．

(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m；

(2)a与b的和是非负实数；

(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍．

二、作差法比较大小

问题3在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？

知识梳理

基本事实

依据

ab?________；

a＝b?________；

ab?________

结论

要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________与________的大小

例2(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．

(2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．

延伸探究把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．

反思感悟作差法比较两个实数大小的基本步骤

跟踪训练2(1)比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小．

(2)已知a0，b0，比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．

三、重要不等式

问题4如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？

问题5你能证明问题4中得到的不等式吗？

知识梳理

一般地，?a，b∈R，有a2＋b2________2ab.当且仅当________时，等号成立．

例3已知a0，求证：a＋eq\f(1,a)≥2.

反思感悟在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质．

跟踪训练3已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，试比较xy与2的大小关系．

1．知识清单：

(1)用不等式(组)表示不等关系．

(2)作差法比较大小．

(3)重要不等式．

2．方法归纳：作差法．

3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．

1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()

A．v≤120km/h且d≥10m

B．v≤120km/h或d≥10m

C．v≤120km/h

D．d≥10m

2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是()

A．5x＋4y200 B．5x＋4y≥200

C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200

3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()

A．MN B．M＝N

C．MN D．与x有关

4．若实数ab，则a2－ab________ba－b2.(填“”或“”)