2024-2025版新高考数学专题重点练习-立体几何与概率统计习题册.docx

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第1章空间证明和计算

1.1几何法

同步练习①

1.[5分](2014大纲文4)已知正四面体中,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()。

A.

B.

C.

D.

2.[5分新课标文7)正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点,则三棱锥的体积为()。

A.3

B.

C.1

D.

3.[5分](2018全国文10)在长方体中,与平面所成的角为,则该长方体的体积为()。

A.8

B.

C.

D.

4.[5分](2019全国III文理16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型。如图1-1所示,该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体,其中为长方体的中心,${E,F,G,H}$分别为所在棱的中点,6cm，=4cm，3D打印所用原料密度为0.9,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_______。

5.[5分]](2009全国理7)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,点在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为。

A.

B.

C.

D.

6.[5分](2010全国文9)正方体中,与平面所成角的余弦值为()。

A.

B.

C.

D.

7.[5分](2018新课标文16)已知圆锥的顶点为,母线$SA,SB$互相垂直,$SA$与圆锥底面所成角为,若△的面积为8,则该圆锥的体积为_______。

8.[5分]](2015浙江理13)如图所示,三棱锥中,,点分别是的中点,则异面直线所成角的余弦值是_______。

9.[5分](2013大纲文11)已知正四棱柱中,,则与平面所成角的正弦值等于()。

A.

B.

C.

D.

10.[5分](2016全国文理11)平面过正方体的顶点平面平面平面,则所成角的正弦值为。

A.

B.

C.

D.

同步练习②

1.[12分](2014福建文19)如图所示,三棱锥中,平面，$CD\botBD$

(I)求证:平面

(II)若,为的中点,求三棱锥的体积。

2.[12分](2018全国文19)如图所示,在三棱锥中,为的中点。

(I)证明:平面;

(II)若点在棱上,且,求点到平面的距离。

3.[12分](2019浙江19)如图1-5所示,已知三棱柱，平面平面,,,,分别是的中点。

(I)证明:;

(II)求与平面所成角的余弦值。

4.[12分](2013安徽文18)如图1-6所示,四棱锥${P-ABCD{$的底面是边长为2的菱形,,已知。

(I)证明:;

(II)若为的中点,求三棱锥的体积。

同步练习③

1.[12分]\left(2014山东理17)如图1-7所示,在四棱柱中,底面${ABCD}$是等腰梯形,是线段的中点。

(I)证明:平面;

(II)若平面,且,求平面和平面所成角的余弦值。

2.[12分](2014广东理18)如图1-8所示,四边形为正方形,平面,于点,交于点。

(I)证明:平面;

(II)求二面角的余弦值。

3.[12分](2010江西理20)如图1-9所示,与都是边长为2的正三角形，平面平面平面。

(I)求点A到平面的距离;

(II)求平面与平面所成二面角的正弦值。

4.[12分](2013辽宁理18)如图所示,是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上的点。

(I)求证：平面平面;

(II)若,求二面角的余弦值。

1.2向量法

同步练习①

1.[5分](2011大纲文8)已知直二面角,点为垂足,,为垂足,若,则。

A.2

B.

C.

D.1

2.[分](2018全国理9)在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为。

A.

B.

C.

D.

3.[5分](2014全国II理11)直三棱柱中,分别是的中点,,则异面直线与的夹角的余弦值为。

A.

B.

C.

D.

4.[5分](2017全国理10）已知直三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为。

A.

B.

C.

D.

5.[5分](2012大纲理16)如图1-11所示,三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为_______。

6.[15分](2019北京理18)如图所示,在四棱锥中,平面,为的中点,在上且。

(I)求证:平面；

(II)设点在上,,判断直线是否在平面内,说明理由。

7.[15分](2015全国理18)如图所示,四边形为菱形,,是平面同一侧的两点,平面平面。

(I)证明：平面平面;

(II)求异面直线与所成角的余弦值。

同步练习②

1.[12分](2020天津理17)如图1-14所示,在三棱柱中,平,点分别在棱和棱上,且为棱的中点。

(I)求证:;

(II)求二面角的正弦值。

2.[12分](2020全国理18)如图1-15所示,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,。是底面的内接正三角形,$P$为上一点,

(I)证明:平面;

(II)求二